Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei F: [mm] IR^2 [/mm] --> IR, [mm] F(x,y)=x^2y+y^3-3y+x.
[/mm]
a) Für welche Punkte [mm] x_0 \in [/mm] IR existieren ein offenes Intervall I [mm] \subset [/mm] IR mit [mm] x_0 \in [/mm] I und eine unendlich oft diffbare Funktion g: I --> IR mit [mm] g(x_0)=1 [/mm] und F(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] I?
b) Sei g: I-->IR eine Funktion wie in a). Berechne nahe [mm] x_0 [/mm] die Ableitung g' von g in Abhängigkeit von x und g(x). |
Hallo,
also F ist stetig partiell diffbar mit grad F(x,y)= [mm] (2xy+1,x^3+3y^2-3). [/mm] Um den Satz über implizite Funktionen verwenden zu können, muss ja [mm] F(x_0,1)=0 [/mm] sein, also muss [mm] x_0=1 [/mm] oder [mm] x_0=-2 [/mm] sein. In diesen Fällen ist [mm] \bruch{\partial F}{\partial y} (x_0,1) [/mm] ungleich 0, also invertierbar. Dann existieren offene Umgebungen I von [mm] x_0 [/mm] und U von 0 und eine unendlich oft diffbare Funktion g: I -->U mit {(x,y) [mm] \in [/mm] I x U; F(x,y)=0}={(x,g(x)), x [mm] \in [/mm] I}. Außerdem ist g'(x)= [mm] -\bruch{\partial F}{\partial y} (x,g(x))^{-1} \bruch{\partial F}{\partial x} [/mm] (x,g(x))
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Sei F: [mm]IR^2[/mm] --> IR, [mm]F(x,y)=x^2y+y^3-3y+x.[/mm]
> a) Für welche Punkte [mm]x_0 \in[/mm] IR existieren ein offenes
> Intervall I [mm]\subset[/mm] IR mit [mm]x_0 \in[/mm] I und eine unendlich oft
> diffbare Funktion g: I --> IR mit [mm]g(x_0)=1[/mm] und F(x,g(x))=0
> für alle x [mm]\in[/mm] I?
> b) Sei g: I-->IR eine Funktion wie in a). Berechne nahe
> [mm]x_0[/mm] die Ableitung g' von g in Abhängigkeit von x und
> g(x).
> Hallo,
>
> also F ist stetig partiell diffbar mit grad F(x,y)=
> [mm](2xy+1,x^3+3y^2-3).[/mm] Um den Satz über implizite Funktionen
Das muss doch hier lauten:
[mm](2xy+1,x^{\blue{2}}+3y^2-3).[/mm]
> verwenden zu können, muss ja [mm]F(x_0,1)=0[/mm] sein, also muss
> [mm]x_0=1[/mm] oder [mm]x_0=-2[/mm] sein. In diesen Fällen ist
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial y} (x_0,1)[/mm] ungleich 0, also
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> invertierbar. Dann existieren offene Umgebungen I von [mm]x_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und U von 0 und eine unendlich oft diffbare Funktion g: I
> -->U mit {(x,y) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I x U; F(x,y)=0}={(x,g(x)), x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I}.
> Außerdem ist g'(x)= [mm]-\bruch{\partial F}{\partial y} (x,g(x))^{-1} \bruch{\partial F}{\partial x}[/mm]
> (x,g(x))
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Zum Schluss bei der Ableitung von g' denke ich muss man doch noch etwas einsetzen, aber ich weiß nicht genau was... Wie sieht das korrekterweise aus?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Zum Schluss bei der Ableitung von g' denke ich muss man
> doch noch etwas einsetzen, aber ich weiß nicht genau
> was... Wie sieht das korrekterweise aus?
Das passt schon so.
Das kann man aber auch so schreiben:
[mm]g'\left(x}\right)=- \left \bruch{\bruch{\partial F\left(x,y\right)}{\partial x}}{\bruch{\partial F\left(x,y\right)}{\partial y}}\right|_{\left(x, \ g\left(x\right) \ \right)}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Muss man nicht für x -1 bzw. 2 und für g(x) 1 einsetzen und dann die Ableitung von F jeweils an diesen Punkten auswerten?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Muss man nicht für x -1 bzw. 2 und für g(x) 1 einsetzen
> und dann die Ableitung von F jeweils an diesen Punkten
> auswerten?
Da hast Du vollkommen recht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Also so?
g'(x)=-3, wenn [mm] x_0=1
[/mm]
und
g'(x)=16, wenn [mm] x_0=-2
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Also so?
>
> g'(x)=-3, wenn [mm]x_0=1[/mm]
> und
> g'(x)=16, wenn [mm]x_0=-2[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Dann erhalte ich im zweiten fall 3/4.
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Dann erhalte ich im zweiten fall 3/4.
Jetzt stimmts.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
