Impl. Runge Kutta < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Jacko |
Hallo liebe Forumsgemeinde...
Ich ärgere mich jetzt hier schon seit geraumer Zeit mit dem impl. Runge Kutta rum. Zunächst dachte ich, es wäre ein Fehler im Skript, meine Internetrecherche konnte das aber nicht bestätigen. Gut, der impl. Runge Kutta wird ja allgemein so angegeben:
[mm] u_{i+1}=u_{i}+h* \summe_{v=1}^{s}b_{v}*k_{v}
[/mm]
mit
[mm] k_{v}=f(t_{i}+c_{v}*h,u_{i}+ \summe_{j=1}^{s}a_{vj}*k_{j}) \forall \nu=1...s
[/mm]
Mein Problem liegt jetzt in folgendem:
Die [mm] k_{v} [/mm] benötigen ja ihren eigenen Wert um berechnet werden zu können. Algorithmisch gesprochen, rufen die sich selbstständig immer wieder auf, also eine Endlosschleife so zu sagen.
Entweder bin ich zu blöd hierfür, oder da ist tatsächlich ein Fehler drin.
Zur Einfachheit habe ich das zum Beipsiel für ein Zweistufiges Verfahren getestet.
Die Frage habe ich bisher nur mir selbst gestellt 
Ich danke euch schon mal für eure Mühe ...
Grüße Michael
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Hallo Michael,
Die Berechnung von impliziten RKV ist nat. nicht immer einfach. Dies zeigt schon ihr erster Vertreter das implizite Euler-Verfahren.
[mm] u_{i+1}=u_i+hf(t_{i+1},u_{i+1})
[/mm]
Da [mm] u_{i+1} [/mm] auch als Argument von f vorkommt ist also eine i.A. nichtlineare Gleichung zu lösen. Dies kann natürlich (beliebig) kompliziert werden.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 12.01.2006 | | Autor: | Jacko |
Hallo Mathemaduenn,
Danke für Deine Antwort. Mir ist schon klar, dass ich nicht erwarten kann, dass sich dort ein einfach aufzulösendes GlS ergibt. Deine Beispiel des impl Eulers zeigt das ja schon deutlich, obwohl dieses Verfahren an sich ja eher einfach und primitiv ist.
Beim allg. Runge Kutta fehlt mir ja aber zum Beispiel allein nur die Möglichtkeit die Verfahrensformel klar auszuschreiben, weil ich z.B. [mm] k_{1} [/mm] nicht mal aufschreiben kann, weil [mm] k_{1} [/mm] sich ja immer wieder selbst aufruft. Also, um mathematisch zu bleiben: Dort entsteht allg. ein unlösbares GLS, oder?
Viele Grüße und Danke für die Mühe
Michael
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Hallo Jacko,
Vom Prinzip hast Du s (nichtlineare) Gleichungen für s Unbekannte. Ob das nun immer lösbar ist?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Zumindest nicht für alle h dies zeigt ja schon
[mm] u'=\bruch{u}{h}
[/mm]
zusammen mit dem impliziten Eulerverfahren.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Do 12.01.2006 | | Autor: | Jacko |
Hallo Mathemaduenn,
Danke für Deine Hilfe... Stimmt, ich habe s unbekannte und s Gleichungen. So ist es ziemlich logisch. Hm, lustig, wenn man für so ne einfache Sache so lang braucht
Danke nochmal!
Die Lösbarkeit ist nicht immer gegeben, aber wird bestimmt durch die verschiedenen Kriterien (-> Konvergenz) für das ButcherTableau gesichert.
Grüße Michael
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