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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Identitätsatz
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Identitätsatz: Stimmt das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mo 21.05.2012
Autor: teo

Aufgabe
Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?

Lösung:

Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\} [/mm] hat wegen [mm] \{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\} [/mm] einen Häufungspunkt in [mm] \IC, [/mm] nämlich 0. Nach dem Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN [/mm].

Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm] z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm] nur in [mm] \IC\backslash\{2\} [/mm] definiert ist.

Vielen Dank!

Grüße

        
Bezug
Identitätsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Mo 21.05.2012
Autor: SEcki


> Nach dem
> Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN [/mm].

Soso. Vielleicht ist es blos die Vorraussetzung ...

> Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.

Und was sagt die der Identitätssatz denn genau?

SEcki


Bezug
        
Bezug
Identitätsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
>  
> Lösung:
>  
> Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen
> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.


> Nach dem
> Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN [/mm].

Hä ? Das ist doch eine Eigenschaft, die f nach Vor. hat !

>  
> Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.

Deine Idee ist gut. Setze [mm] g(z):=f(z)-\frac{1}{2-z} [/mm]  für z [mm] \in \IC\backslash\{2\} [/mm]

Wenn f holomorph auf [mm] \IC [/mm]  ist, so ist g holomorph auf [mm] \IC\backslash\{2\} [/mm]

Weiter ist g(1/n)=0 für alle n. Folglich ist g=0 auf [mm] \IC\backslash\{2\} [/mm]
(warum ? )

Also ist [mm] f(z)=\frac{1}{2-z} [/mm]  für z [mm] \in \IC\backslash\{2\} [/mm]

Das ist ein Widerspruch (zu was ?)

FRED


>  
> Vielen Dank!
>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Identitätsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Di 22.05.2012
Autor: teo


> > Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> > [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
>  >  
> > Lösung:
>  >  
> > Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen >> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> > einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
>
>
> > Nach dem
> > Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> > für alle [mm]n\in \IN [/mm].
>  
> Hä ? Das ist doch eine Eigenschaft, die f nach Vor. hat !

Ja war ich wohl gestern zu müde...

>  >  
> > Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> > nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.
>  
> Deine Idee ist gut. Setze [mm]g(z):=f(z)-\frac{1}{2-z}[/mm]  für z
> [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
>  
> Wenn f holomorph auf [mm]\IC[/mm]  ist, so ist g holomorph auf
> [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
>  
> Weiter ist g(1/n)=0 für alle n. Folglich ist g=0 auf
> [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
>   (warum ? )
>  
> Also ist [mm]f(z)=\frac{1}{2-z}[/mm]  für z [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
>  
> Das ist ein Widerspruch (zu was ?)
>  
> FRED
>  
>
> >  

> > Vielen Dank!
>  >  
> > Grüße
>  

Man könnte es dann doch auch so machen:

Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to \IC[/mm] mit [mm]f(\frac{1}{n})=\frac{n}{2n-1}[/mm] dann gilt:

Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
  
Nach dem
Identitätsatz ist dann [mm]f(z) = \frac{1}{2-z}[/mm]. Dann hat f in 2 aber eine isolierte Singulatiät, ist also nicht holomorph auf ganz [mm] \IC. [/mm] Widerspruch.
Somit gibt es keine Funktion f mit den geforderten Eigenschaften.

Danke!

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Identitätsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> > > Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> > > [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
>  >  
> >  

> > > Lösung:
>  >  >  
> > > Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen >>
> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> > > einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
> >
> >
> > > Nach dem
> > > Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> > > für alle [mm]n\in \IN [/mm].
>  >  
> > Hä ? Das ist doch eine Eigenschaft, die f nach Vor. hat !
>  
> Ja war ich wohl gestern zu müde...
> >  >  

> > > Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> > > nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.
>  >  
> > Deine Idee ist gut. Setze [mm]g(z):=f(z)-\frac{1}{2-z}[/mm]  für z
> > [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
>  >  
> > Wenn f holomorph auf [mm]\IC[/mm]  ist, so ist g holomorph auf
> > [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
>  >  
> > Weiter ist g(1/n)=0 für alle n. Folglich ist g=0 auf
> > [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
>  >   (warum ? )
>  >  
> > Also ist [mm]f(z)=\frac{1}{2-z}[/mm]  für z [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
>  
> >  

> > Das ist ein Widerspruch (zu was ?)
>  >  
> > FRED
>  >  
> >
> > >  

> > > Vielen Dank!
>  >  >  
> > > Grüße
> >  

>
> Man könnte es dann doch auch so machen:
>  
> Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to \IC[/mm]
> mit [mm]f(\frac{1}{n})=\frac{n}{2n-1}[/mm] dann gilt:
>  
> Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen
> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
>
> Nach dem
> Identitätsatz ist dann [mm]f(z) = \frac{1}{2-z}[/mm]. Dann hat f in
> 2 aber eine isolierte Singulatiät, ist also nicht
> holomorph auf ganz [mm]\IC.[/mm] Widerspruch.
>  Somit gibt es keine Funktion f mit den geforderten
> Eigenschaften.

Richtig. Noch 2 Bemerkungen:

1. Du solltest noch erwähnen, das 2 keine hebbare Singularität ist.

2. Du schreibst oben: "  Man könnte es dann doch auch so machen".

Du hast es nicht anders gemacht als ich.

FRED

>  
> Danke!
>  
> Grüße


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Identitätsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Di 22.05.2012
Autor: teo

Vielen Dank!

Ich wollte nur dein "g" nicht benutzen ;-).

Viele Grüße

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Identitätsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> Vielen Dank!
>  
> Ich wollte nur dein "g" nicht benutzen ;-).

Mir gehört das "g" nicht ! Du kannst es also ruhigen Gewissens benutzen.

FRED

>  
> Viele Grüße


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Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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