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Hallo Zusammen
Ich soll herleiten, dass die Idealklassengruppe von [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) [/mm] gleich 2 ist. Das geschieht in mehreren Schritten, und ich stecke in einem fest:
Man nehme ein beliebiges Ideal [mm] \mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_{K} [/mm] und ein Element [mm] \alpha [/mm] = a + [mm] b\sqrt{-5} \in \mathfrak{p} [/mm] s.d. [mm] |N(\alpha)| [/mm] = |a - [mm] 5b^{2}| [/mm] so klein wie möglich ist.
Ich möchte nun zeigen, dass 2x [mm] \in \alpha\mathcal{O}_{K} \forall [/mm] x [mm] \in \mathfrak{p}.. [/mm] weiss allerdings nicht ganz recht wie ich argumentieren soll..
Ich weiss auf jeden Fall, dass [mm] \mathfrak{p} [/mm] als eindeutiges Produkt von Primidealen geschrieben werden kann..
Wie gehts jetzt weiter? Ich weiss nicht was machen, weil mich dieses "beliebig" irritiert..
Grüsse, Arcesius
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Hallo
Ich habe die letzte Frage noch nicht 100% beantworten können, darum wäre ich weiterhin froh um eine Rückmeldung :)
Aber trotzdem weiter im Text...
Ich verstehe die ganze Theorie noch nicht so ganz mit der Klassengruppe usw.. Ich soll jetzt in [mm] C_{K} [/mm] zeigen (das ist ja definiert als [mm] C_{K} [/mm] := [mm] \{\text{Fractional ideals}\}/\{\text{Principal fractional ideals}\}) [/mm] dass die Klasse von [mm] \mathfrak{p} [/mm] der Klasse von [mm] \mathfrak{p}' [/mm] entspricht, wobei [mm] \mathfrak{p}' [/mm] ein Ideal ist, s.d. gilt [mm] 2\mathcal{O}_{K} \subset \mathfrak{p}' \subset \mathcal{O}_{K}
[/mm]
Aber ich versteh nicht ganz.. kann ich jetzt (da ich mein Zahlkörper explizit gegeben habe) [mm] C_{K} [/mm] ebenfalls explizit angeben, oder muss ich hier wieder allgemein vorgehen?
Ich hab leider wirklich keine Ahnung, was ich machen soll..
Weiter muss ich dann das einzige Primideal von [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] finden, die die 2 enthält und dann seine Klasse finden und zeigen, dass es [mm] C_{K} [/mm] generiert.. dann soll ich sehen, dass [mm] C_{K} \cong \IZ/2\IZ..
[/mm]
Das gesuchte Ideal sollte ja eigentlich [mm] \mathfrak{a} [/mm] := [mm] (2,1+\sqrt{-5}) [/mm] sein.. oder? Aber selbst wenn ich das hab, wie finde ich denn die Klasse von [mm] \mathfrak{a}?
[/mm]
Ich hoffe echt, dieses Thema mit dieser Aufgabe lernen zu können.. :) Auf jeden Fall danke (wieder einmal) für die Hilfsversuche!
Grüsse, Arcesius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 26.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 26.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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