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edit: Nach Gesprächen mit einem Kommilitonen geb ich lieber mal die gesamten mir zur Verfügung stehenden Infos.^^
| Aufgabe | Sei $I [mm] \leq \IZ[x]$ [/mm] ein Ideal, das folgende Bedingungen erfüllt:
1) Es existiert ein $p [mm] \in \IP$ [/mm] und ein $s [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $p^s \in [/mm] I$.
2) Es existiert ein $f [mm] \in [/mm] I$ mit grad$(f) [mm] \geq [/mm] 1$ und $f$ normiert, sodass $f$ sowohl in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] als auch modulo $p$ irreduzibel ist.
Dann existieren $z [mm] \in \IZ$ [/mm] und $g [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] mit $I = [mm] \langle z,g\rangle$.
[/mm]
Es gilt sogar [mm] $I=\langle p^i,f\rangle$ [/mm] für ein $0 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] s$. |
Hey,
beim Versuch für meine Bachelorarbeit einen sehr hässlichen Beweis (5 Seiten Indexschubserei) zu verschönern hänge ich gerade an obigem Problem.
Ich habe das zu zeigende Problem mit Isomorphiesätzen und ein wenig gerede auf diese Form gebracht, die vermeintlich schön aussieht, da [mm] $\IZ[x]$ [/mm] nicht der hässlichste Ring ist.
Leider habe ich keinen Ansatz und keine Idee, wie ich diese Aussage zeigen könnte...
Hat jemand einen Vorschlag dazu?
lg
Schadow
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Ich sollte mir wohl mal angewöhnen erst zu fragen, nachdem ich wirklich aufgegeben habe, und nicht wenn ich noch ein paar Stunden danach an dem Problem überlegen will...
Hat sich erledigt, hab das schon selbst (bzw. mit ein wenig offline-Hilfe^^) widerlegt gekriegt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Fr 29.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> edit: Nach Gesprächen mit einem Kommilitonen geb ich
> lieber mal die gesamten mir zur Verfügung stehenden
> Infos.^^
>
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> Sei [mm]I \leq \IZ[x][/mm] ein Ideal, das folgende Bedingungen
> erfüllt:
> 1) Es existiert ein [mm]p \in \IP[/mm] und ein [mm]s \in \IN[/mm] mit [mm]p^s \in I[/mm].
>
> 2) Es existiert ein [mm]f \in I[/mm] mit grad[mm](f) \geq 1[/mm] und [mm]f[/mm]
> normiert, sodass [mm]f[/mm] sowohl in [mm]\IZ[x][/mm] als auch modulo [mm]p[/mm]
> irreduzibel ist.
Kleine Bemerkung: wenn es modulo $p$ irreduzibel ist, dann bereits in [mm] $\IZ[x]$, [/mm] da es normiert ist.
> Dann existieren [mm]z \in \IZ[/mm] und [mm]g \in \IZ[x][/mm] mit [mm]I = \langle z,g\rangle[/mm].
>
> Es gilt sogar [mm]I=\langle p^i,f\rangle[/mm] für ein [mm]0 \leq i \leq s[/mm].
Das Ideal $I [mm] \cap \IZ$ [/mm] ist ein Hauptideal; da [mm] $p^s$ [/mm] drinnenliegt, muss $I [mm] \cap \IZ [/mm] = [mm] \langle p^i \rangle$ [/mm] sein mit $i [mm] \in \{ 0, \dots, s \}$.
[/mm]
Sei $g [mm] \in [/mm] I$ ein Element. Indem wir Polynomdivision mit $f$ machen, koennen wir es zu einem Polynom mit [mm] $\deg [/mm] g < [mm] \deg [/mm] f$ reduzieren. Durch Hinzuaddieren von passenden Vielfachen von [mm] $p^i$ [/mm] koennen wir die Koeffizienten in den Bereich $0, [mm] \dots, p^i-1$ [/mm] bringen. Sei $r [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] das Resultat. Wir muessen nun zeigen, dass $r = 0$ ist: daraus folgt $I = [mm] \langle p^i, [/mm] f [mm] \rangle$.
[/mm]
Angenommen $r [mm] \neq [/mm] 0$. Sei $r = [mm] p^j \hat{r}$ [/mm] mit [mm] $\hat{r} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\deg f - 1} a_k x^k$, [/mm] $0 [mm] \le a_k [/mm] < [mm] p^i$ [/mm] so dass fuer ein $k$ gilt $p [mm] \nmid a_k$; [/mm] dann gilt $0 [mm] \le [/mm] j < i$.
In [mm] $(\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] sind $f$ und [mm] $\hat{r}$ [/mm] teilerfremd, womit man $1 + p [mm] \cdot h_1 [/mm] = f [mm] \cdot h_2 [/mm] + [mm] \hat{r} \cdot h_3$ [/mm] mit [mm] $h_1, h_2, h_3 \in \IZ[x]$ [/mm] schreiben kann. Multipliziert man dies mit [mm] $p^j$, [/mm] so bekommen wir [mm] $p^j [/mm] + [mm] p^{j+1} h_1 \in [/mm] I$. Da $j < i$ ist koennen wir dies mit [mm] $p^{i-j-1}$ [/mm] multiplizieren und bekommen [mm] $p^{i-1} \in [/mm] I$, ein Widerspruch.
Also muss $r = 0$ sein, womit $I = [mm] \langle p^i, [/mm] f [mm] \rangle$ [/mm] ist. Tada :)
LG Felix
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Ok, ich notiere mir: niemals unter Stress und genervt an Gegenbeispiele glauben, die kann man wenn man Ruhe hat alle widerlegen. xD
Vielen Dank felix, so nett aufgeschrieben sieht das sogar total einfach aus. :)
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