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| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring und [mm]I \trianglelefteq R[/mm] ein Ideal. Sei J das Ideal in R[X],
das durch I erzeugt wird.
a) Beschreiben Sie J im Fall [mm]R = \IZ, I = 2\IZ[/mm].
b) Zeigen Sie: [mm]R[X]/J \cong (R/I)[X][/mm]. |
Wieder meine Ideen:
a) Ich habe ja [mm]2\IZ \trianglelefteq \IZ[/mm]. Damit wären in R[X] alle Polynome die gerade Koeffizienten haben. Oder nicht?
b) Ich muss einen surjektiven Homomophismus konstruieren [mm]f: R[X] \to (R/I)[X][/mm] mit [mm]kern(f)=J[/mm]. Wenn nun J die Polynome mit geraden Koeefizienten sind, fällt mir leider kein Homomorphismus ein.
Stimmt meine Interpretation?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei R ein kommutativer Ring und [mm]I \trianglelefteq R[/mm] ein
> Ideal. Sei J das Ideal in R[X],
> das durch I erzeugt wird.
> a) Beschreiben Sie J im Fall [mm]R = \IZ, I = 2\IZ[/mm].
> b) Zeigen
> Sie: [mm]R[X]/J \cong (R/I)[X][/mm].
>
>
> Wieder meine Ideen:
>
> a) Ich habe ja [mm]2\IZ \trianglelefteq \IZ[/mm]. Damit wären in
> R[X] alle Polynome die gerade Koeffizienten haben. Oder
> nicht?
Ja.
> b) Ich muss einen surjektiven Homomophismus konstruieren
> [mm]f: R[X] \to (R/I)[X][/mm] mit [mm]kern(f)=J[/mm]. Wenn nun J die Polynome
> mit geraden Koeefizienten sind, fällt mir leider kein
> Homomorphismus ein.
Betrachte die Reduktion der Koeffizienten modulo 2, d.h. jeder Koeffizient eines Polynoms aus $R[X]$ wird auf seine Restklasse modulo 2 abgebildet:
[mm] $\summe_{i=0}^n{a_i}{X^i}\mapsto\summe_{i=0}^n({a_i}\; mod\;2){X^i}$
[/mm]
Du kannst dann zeigen, dass es sich tatsächlich um einen wohldefinierten, surjektiven Homomorphismus handelt, dessen Kern das Ideal $J$ ist.
Viele Grüße, Lippel
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Jihu. Die Idee hatte ich mit dem Modulo auch (kann man zwar hinterher immer Behaupten war aber so).
Ich war mir nur nicht sicher ob das so geht. Also ist im Allgemeinen Fall jede mögliche denkbare Konstruktion erlaubt, die ein Homorphismus ist?
Ich probiere Wohldefiniertheit aus. Dann stelle ich dann meine Überlegungen hier hinein.
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