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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Di 19.12.2006 | | Autor: | Blefix |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen sind Ideale? Dabei sei k stets Körper.
a) [mm] \{...,-4,-3,-2,0,2,3,4,...\}=\IZ [/mm] \ [mm] \{1,-1\} \subset \IZ
[/mm]
b) [mm] I_n [/mm] := [mm] \{\summe_{i=1}^{m}a_i x^i | a_i \in k\} \subset [/mm] k[X] mit n [mm] \ge [/mm] 0 fest und m [mm] \ge [/mm] n beliebig
c) [mm] \{f \in k[X] | f(0) =0\} \subset [/mm] k[X] |
Hallo alle miteinander,
Ich hab aus der Vorlesung folgende Definition für ein Ideal:
Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge [mm] a\subseteq [/mm] R heißt Ideal, wenn
1) a (abelsche) Untergruppe in R
2) R*a [mm] \subseteq [/mm] a (d.h. r*a [mm] \in [/mm] a, [mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR, a\in [/mm] a)
ist.
Ich hab nun nochmal im Netz nachgeschaut und folgendes gefunden:
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Linksideal, wenn
1: Die Null des Ringes liegt in I
2: Für alle a,b in I liegt a − b in I
3L: Für jedes a in I und r in R liegt ra in I
(Die Forderungen 1 und 2 sind dazu äquivalent, dass I eine Untergruppe von (R,+) ist.)
Ein Linksideal in R ist nichts anderes als ein Untermodul von R, aufgefasst als R-Linksmodul, entsprechend für Rechtsideale.
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Rechtsideal, wenn neben 1 und 2 auch gilt
3R: Für jedes a in I und r in R liegt ar in I
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt beidseitiges Ideal, wenn sie Linksideal und Rechtsideal ist, also 1, 2, 3L und 3R erfüllt.
Ist der Ring kommutativ, dann fallen diese drei Begriffe zusammen, und man spricht schlicht von Idealen. In einem nichtkommutativen Ring können sie sich aber unterscheiden; "Ideal" wird dann auch abkürzend für "zweiseitiges Ideal" benutzt.
Jetzt hab ich mir zu a) folgendes überlegt:
1) Die Null ist nach Definition enthalten
2) Gegenbeispiel: Sei a=3 und b=2. Dann ist a-b=1 und somit nicht enthalten in der Teilmenge
Daraus folgt: Teilmenge kein Ideal.
Stimmt das schon, oder hab ich da etwas übersehen?
Bei b) und c) hab ich noch keine wirkliche Idee, da mir eine Vorstellung von den Elemente fehlt.
Hoffe jemand kann mir helfen.
Wünsche allen einen schönen Tag
Blefix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 19.12.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Welche der folgenden Teilmengen sind Ideale? Dabei sei k
> stets Körper.
>
> a) [mm]\{...,-4,-3,-2,0,2,3,4,...\}=\IZ[/mm] \ [mm]\{1,-1\} \subset \IZ[/mm]
>
> b) [mm]I_n[/mm] := [mm]\{\summe_{i=1}^{m}a_i x^i | a_i \in k\} \subset[/mm]
> k[X] mit n [mm]\ge[/mm] 0 fest und m [mm]\ge[/mm] n beliebig
> c) [mm]\{f \in k[X] | f(0) =0\} \subset[/mm] k[X]
> Jetzt hab ich mir zu a) folgendes überlegt:
>
> 1) Die Null ist nach Definition enthalten
> 2) Gegenbeispiel: Sei a=3 und b=2. Dann ist a-b=1 und
> somit nicht enthalten in der Teilmenge
> Daraus folgt: Teilmenge kein Ideal.
> Stimmt das schon, oder hab ich da etwas übersehen?
Das hast du schon mal gut hingekriegt!
> Bei b) und c) hab ich noch keine wirkliche Idee, da mir
> eine Vorstellung von den Elemente fehlt.
b) Das ist nicht gut hingeschrieben, weil da bei n = 0 auch die leere Summe stehen könnte. Das soll dann sicher die 0 sein.
Wenn du dir ein paar hinschreibst, siehst du vllt., welche Pol. du erhältst. Vergleich mal mit c)
c) Das müßteste selbst hinkriegen, welche Polynome sind das denn? In Schul-Speak: Was ist der y-Achsen-Abschnitt?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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