σ-Algebra Definition < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Fr 23.07.2010 | | Autor: | sunsande |
| Aufgabe | Als σ-Algebra bezeichnet man ein Mengensystem [mm] \mathcal A\quad [/mm] mit [mm] \mathcal A\quad \subseteq \mathcal P\quad (\Omega) [/mm] ( [mm] \mathcal P\quad [/mm] Potenzmenge) , also eine Menge [mm] \mathcal A\quad [/mm] von Teilmengen der Grundmenge Ω, welche die folgenden Bedingungen erfüllt:
1. [mm] \Omega \in \mathcal A\quad
[/mm]
2. A [mm] \in \mathcal A\quad \Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad [/mm]
3. [mm] A_1,A_2, \ldots \in \mathcal A\quad \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal A\quad. [/mm] (Wenn für jede natürliche Zahl n die Menge [mm] A_n [/mm] in [mm] \mathcal A\quad [/mm] ist, so ist auch die abzählbare Vereinigung aller [mm] A_n [/mm] in [mm] \mathcal A\quad.) [/mm] |
Aufgabe 1. Warum betrachtet man in 3. nur abzählbare Vereinigungen? (bei der Topologie Definition z.B. gibt es keine solche Einschränkung)
Danke im Voraus!
sunsande
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi
Eine etwas komische Frage, wie ich finde...warum ist die Definition so, wie sie ist ;)
Ich weiß nicht genau was man da für eine Antwort erwarten würde,
aber spontan würde ich sagen es kommt darauf an , was man noch mit den s-algebren anstellen möchte.
In der Maßtheorie lässt man dann eben Maße auf die s-algebren los.
Und diese sollen sigmaadditiv sein, was eben auch nur für abzählbare Indexmengen definiert ist.
Vllcht hilft auch dieses Geddankenspiel:
man nehme den Raum ((0,1),B,P) wobei P das Lebesguemaß und A eine s-algebra ist , die alle abgeschlossenen "Einpunkt_intervalle" enthält.
Dann wäre ja , wenn 3. auch für überabzählbare Indexmengen gelten würde, das intervall (0,1) auch in A enthalten. Punkte haben nun keine Masse unter dem L-Maß. Da (0,1) disjunkte Vereniigung von Mengen ist , bekommt man also [mm] 1=P((0,1))=P(\bigcup_{r\in[0,1]} [r,r])=\summe_{r\in[0,1]} [/mm] P([r,r])=0 , wobei da eine Überabzählbare Summe auch schon sehr komisch ist.
Bei Topologie spielt die Stetigkeit von Fkt.en zwischen top. Räumen eine große Rolle. Ich würde sagen dort brauch man so etwas wie Überabzählbarkeit.
Für Abbildungen zwischen Maßräumen ist hingegen Messbarbeit "die Stetigkeit der Maßtheorie".
Gruß Moritz
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 So 25.07.2010 | | Autor: | sunsande |
Hallo Moritz,
und zuerst vielen Dank für die Antwort - die (bzw. du) hat mir sehr viel geholfen!
Ich habe oft gehört, dass man eine Definition nicht kommentieren darf, aber nur wahrnehmen. Damit stimme ich nicht ganz, da die Definitionen nicht zufällig aus dem Himmel gefallen sind ... und soweit ich weiß, bei einer Definitionsformulierung versucht man am breitesten zu verallgemeinern. Also wenn oben im 3. die Abzählbarkeit der Vereinigung keine Rolle spielte, wurde sie nicht vorausgesetzt. Aber wenn sie doch notwendig ist, dann gibt es einen Grund dazu und den Grund hast Du mit Deinem Beispiel ganz klar gemacht!
Danke nochmals!
Beste Grüße,
sunsande
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 25.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Moritz,
> Hi
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> Eine etwas komische Frage, wie ich finde...warum ist die
> Definition so, wie sie ist ;)
> Ich weiß nicht genau was man da für eine Antwort
> erwarten würde,
> aber spontan würde ich sagen es kommt darauf an , was man
> noch mit den s-algebren anstellen möchte.
> In der Maßtheorie lässt man dann eben Maße auf die
> s-algebren los.
> Und diese sollen sigmaadditiv sein, was eben auch nur für
> abzählbare Indexmengen definiert ist.
>
> Vllcht hilft auch dieses Geddankenspiel:
> man nehme den Raum ((0,1),B,P) wobei P das Lebesguemaß
> und A eine s-algebra ist , die alle abgeschlossenen
> "Einpunkt_intervalle" enthält.
> Dann wäre ja , wenn 3. auch für überabzählbare
> Indexmengen gelten würde, das intervall (0,1) auch in A
> enthalten. Punkte haben nun keine Masse unter dem L-Maß.
> Da (0,1) disjunkte Vereniigung von Mengen ist , bekommt man
> also [mm]1=P((0,1))=P(\bigcup_{r\in[0,1]} [r,r])=\summe_{r\in[0,1]}[/mm]
> P([r,r])=0 , wobei da eine Überabzählbare Summe auch
> schon sehr komisch ist.
>
> Bei Topologie spielt die Stetigkeit von Fkt.en zwischen
> top. Räumen eine große Rolle. Ich würde sagen dort
> brauch man so etwas wie Überabzählbarkeit.
> Für Abbildungen zwischen Maßräumen ist hingegen
> Messbarbeit "die Stetigkeit der Maßtheorie".
ergänzend:
Wenn man sich genügend mit der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt, wird man auch bei der Borelmessbarkeit (Erzeuger von Borel-Sigma-Algebren) darauf aufmerksam, dass man bei der Sigma-Algebra "abzählbare Vereinigungen" zulassen sollte. Und bzgl. des Lebesgue-Maßes bzw. des zugehörigen äußeren Maßes, welches man ja gerade im [mm] $\IR^n$ [/mm] für [mm] $n=2,3,\ldots$ [/mm] zur "Flächenberechnung, Volumenberechnung,...." braucht, ist das sehr entscheidend.
(Ich glaube sogar, dass man das bei der Konstruktion des bzgl. des Lebesgue-Maßes äußeren Maß braucht; aber da bin ich mir nicht mehr ganz sicher.)
Am besten schaut man sich mal genau an, wo man das braucht. Dazu gehören Begriffe wie Messbarkeit, Erzeuger einer Sigma-Algebra, Dynkin-Systeme etc. pp.; also eigentlich alles, was man innerhalb der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie als grundlegend ansieht.
Bei der Definition des Begriffes "Topologie" oder "topologischer Raum" definiert man, dass eine beliebige Vereinigungen von Mengen aus der Topologie wieder in der Topologie liegt, so, weil man z.B. bzgl. metrischen Räumen schon weiß, dass beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen sind. Man spricht dort ja auch gerne von einer "offenen Menge" anstatt "einer Menge aus der Topologie".
Und dass eine Abbildung genau dann stetig ist, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind, ist auch schön. Interessant ist aber, bzgl. Funktionen, hier gerade das Wissen bzgl. Urbilder
[mm] $$f^{-1}(\bigcup_{O \in \mathcal{O}}O)=\bigcup_{O \in \mathcal{O}}f^{-1}(O)\,,$$
[/mm]
um mit stetigen Abbildungen zwischen topologischen Räumen zu arbeiten.
Denn das eine ähnlich schöne Gleichheit leider nicht in analoger Form gilt, wenn man anstatt Urbilder Bilder nimmt, ist sicher bekannt.
P.S.:
Den Begriff Lebesgue-Maß benutze ich im Sinne des ![[]](/images/popup.gif) Borel-Lebesgue-Maß, also das Maß auf der entsprechend zugehörigen Borel-Sigma-Algebra, und das, was dort als Lebesgue-Maß bezeichnet wird, meine ich mit "bzgl. des Lebesgue-Maßes äußeren Maßes". Dieses "äußere Maß" ist also auf der Potenzmenge von [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert.
Beste Grüße,
Marcel
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