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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 19.05.2010 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | X sei eine binomial verteilte Zufallsvariable zum Parameter $p$ mit dem Wertebereich [mm] $\{0,...,10\}$ [/mm] und dem Ablehnungsbereich $ [mm] \{9,10\}$. [/mm] Testen Sie die Hypothese $p [mm] \leq [/mm] 0.6$ gegen die Alternative $p > 0.6$ und bestimmen Sie eine kleinste obere Schranke für den Fehler 1. Art und kleinste obere Schranke für Fehler 2. Art.
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Hallo,
könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?
Normalerweise ist ja vorgegeben, dass die Irrtumswahrscheinlichkeiten des [mm] $\alpha$- [/mm] und [mm] $\beta$-Fehlers [/mm] nicht kleiner als einen festen Wert, z. b. $0.05$ sein dürfen; aber hier ist es genau andersrum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Do 20.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
klaere zunaechst einmal, was es inhaltlich bedeutet, die jeweiligen Fehler zu begehen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Do 20.05.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo.
Die Nullhypothese in der Aufgabe lautet: p<=0.6.
Wenn ich nun die Nullhypothese ablehne, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft, dann begehe ich den Fehler 1. Art. Wenn die Nullhypothese aber falsch ist, und ich sie aber trotzdem als wahr betrachte, dann ist das der Fehler 2. Art.
D.h. Fehler 1. Art:
p ist tatsächlich kleiner gleich 0.6, aber ich nehme fälschlicherweise an, dass p>0.6 ist.
Fehler 2. Art:
p ist in der Tat größer als 0.6, aber ich nehme fälschlicherweise an, dass p<=0.6 ist.
Wenn ich weiß, dass der Ablehnungsbereich der Nullhypothese {9,10} ist (vom gesamten Wertebereich {0,1,...,10}), dann kann ich somit Rückschlüsse auf die kleinste obere Schranke für den Fehler 1. Art und für den Fehler 2. Art machen.
Wie man das aber genau ausrechnet, weiß ich leider nicht.
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Do 20.05.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo.
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> Die Nullhypothese in der Aufgabe lautet: p<=0.6.
>
> Wenn ich nun die Nullhypothese ablehne, obwohl sie in
> Wirklichkeit zutrifft, dann begehe ich den Fehler 1. Art.
> Wenn die Nullhypothese aber falsch ist, und ich sie aber
> trotzdem als wahr betrachte, dann ist das der Fehler 2.
> Art.
Prima, darauf laesst sich aufbauen.
>
> D.h. Fehler 1. Art:
> p ist tatsächlich kleiner gleich 0.6, aber ich nehme
> fälschlicherweise an, dass p>0.6 ist.
Nicht gut. Genauer: [mm] $(X=9\text{ oder } [/mm] 10)$, wenn gilt [mm] $p\le0.6$.
[/mm]
>
> Fehler 2. Art:
> p ist in der Tat größer als 0.6, aber ich nehme
> fälschlicherweise an, dass p<=0.6 ist.
Genauer: [mm] $(X\le8)$, [/mm] wenn gilt $p>0.6$.
>
> Wenn ich weiß, dass der Ablehnungsbereich der
> Nullhypothese {9,10} ist (vom gesamten Wertebereich
> {0,1,...,10}), dann kann ich somit Rückschlüsse auf die
> kleinste obere Schranke für den Fehler 1. Art und für den
> Fehler 2. Art machen.
> Wie man das aber genau ausrechnet, weiß ich leider
> nicht.
Die Wsk, dass du eine Ablehnung erhaeltst, ist in *jedem* Fall [mm] $P(X\ge9)=\binom{10}{9}p^9(1-p)+p^{10}$. [/mm] Schau dir nun diese Wahrscheinlichkeiten an, wenn H$_0$ zutrifft ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 20.05.2010 | | Autor: | kevin-m. |
> Die Wsk, dass du eine Ablehnung erhaeltst, ist in *jedem*
> Fall [mm]P(X\ge9)=\binom{10}{9}p^9(1-p)+p^{10}[/mm]. Schau dir nun
> diese Wahrscheinlichkeiten an, wenn H[mm]_0[/mm] zutrifft ...
Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann ist p kleiner gleich 0.6 und
$ [mm] P(X\ge9)=\binom{10}{9}p^9(1-p)+p^{10}=0.0463, [/mm] \ [mm] \text{falls}\ [/mm] p=0.6 $
Wenn p noch kleiner ist, dann wird auch [mm] $P(X\ge9)$ [/mm] entsprechend kleiner. Also ist die kleinste obere Schranke für den Fehler 1. Art 4.63 %.
Und das Gleiche muss man mit dem Fehler 2. Art auch machen.
Ist das richtig so?
Danke und viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 20.05.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ist das richtig so?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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