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Hallo!
Für folgendes Beispiel bräuchte ich dringend eine Hilfestellung:
Eine Hyperbel mit den Asymptoten [mm] y=\pm\wurzel{3/5}*x [/mm] hat mit einer Ellipse die Brennpunkte und den Punkt = (5/3) gemeinsam.
a) Bestimmen Sie die Hyperbel- und Ellipsengleichung (beide in 1. Hauptlage)
b) Die Tangenten in P schneiden die y-Achse in den Punkten Q und R. Weisen rechnerisch nach, dass P, Q, R und die beiden Brennpunkte auf einem Kreis liegen!
Ich weiß im Moment nicht, was ich mit den Asymptoten machen soll.. Muss ich mit der Bestimmungsgleichung arbeiten?
Vielen Dank für eure rasche Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 23.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du hast bei Ellipse und Hyperbel jeweils zwei unbekannte: a und b.
...und du hast zwei Bedingungen.
Auf Wikipedia steht, dass für eine Hyperbel [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1 die Asymptoten die Gleichung y = +- [mm] \bruch{b}{a}*x [/mm] sind.
Du kannst das aber auch selber herleiten:
Setze in die Gleichung für die Hyperbel für y das [mm] +-\wurzel{3/5}*x [/mm] ein. Die Gleichung y = +- [mm] \bruch{b}{a}*x [/mm] gilt nur für unendlich grosse x und y. D.h. du musst dann x gegen unendlich gehen lassen und dich fragen was gelten muss, damit die Hyperbelgleichung noch erfüllt ist.
Gruss
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D.h. ich setzte die Asymptoten in die Hyperbelgleichung ein, als auch die Werte des Punktes (5;3)? Wenn ich das mache, erhalte ich folgendes:
[mm] 15/a^2 [/mm] - [mm] 25/b^2 [/mm] = 1
Setze ich nun die Werte des Punktes (5;3) auch in die Ellipsengleichung ein, damit ich nachher mit dem (z. Bsp.) Additionsverfahren entweder a oder b eliminiere?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 23.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Nein Nein...du kannst doch nicht beide Bedingungen in einer Gleichung verwenden?!
1.) Einmal die Bedinung mit dem Punkt in die Hyperbelgleichung:
x-Koordinate des Brennpunktes:
e = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
2.) ...das was ich dir vorhin gesagt habe. Setz mal ein und Klammere [mm] x^{2} [/mm] aus und überlege was für x gegen unendlich gelten muss. Wenn du es dann nicht siehst, frag nochmal.
Gruss
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Ich sehs wirklich nicht..
Kann mir jemand die zwei Gleichungen aufstellen, damit ich weiterrechnen kann..?!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 So 23.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
1.) e = 5 = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
2.)
y = [mm] \pm\wurzel{3/5}\cdot{}x
[/mm]
[mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5}*\bruch{x^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1
[mm] x^{2}*(\bruch{1}{a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5}*\bruch{1}{b^{2}}) [/mm] = 1
Für x [mm] \to \infty [/mm] muss was gelten?
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Ich komm einfach nicht dahinter, sodass etwas Sinnvolles dabei rauskommt.. Kann mir jemand weiterhelfen oder zumindest die Lösungen für a bzw. b mitteilen?!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 23.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
[mm] (\bruch{1}{a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5}\cdot{}\bruch{1}{b^{2}}) [/mm] = 0
und das andere Gleichungssystem hab ich dir vorher schon gegeben.
Jetzt nach a und b auflösen.
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