www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Hurwitz-Kriterium
Hurwitz-Kriterium < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hurwitz-Kriterium: Beweis negativ definit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 So 08.07.2018
Autor: Takota

Hallo,

ich habe gelesen, daß das Hurwitz-Kriterium für negativ definite Matrizen eine triviale Folgerung von dem Hurwitz-Kriterium für positiv definite Matrizen ist.

Kann mir bitte jemand diese triviale Folgerung aufzeigen und mir verständlich erklären?

LG
Takota

        
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe gelesen, daß das Hurwitz-Kriterium für negativ
> definite Matrizen eine triviale Folgerung von dem
> Hurwitz-Kriterium für positiv definite Matrizen ist.
>  
> Kann mir bitte jemand diese triviale Folgerung aufzeigen
> und mir verständlich erklären?

Sei A eine symmetrische $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix.

A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] alle führenden Hauptminoren sind positiv.

Damit ergibt sich:

A ist negativ definit [mm] \gdw [/mm] -A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren.

>  
> LG
>  Takota


Bezug
                
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Mo 09.07.2018
Autor: Takota

Hallo FRED,
danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich schon die erste Äquivalenz nicht:

A ist negativ definit $ [mm] \gdw [/mm] $ -A ist positiv definit

Wie kann man das Einsehen? Dazu habe ich mir folgendes überlegt:

Ausgehend von der Definition für negativ definit, also $ [mm] \vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x <  0$ folgt:

$ [mm] \vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x <  0 [mm] \gdw (-1)\vec [/mm] x ^T A [mm] \vec [/mm] x > 0 = [mm] \vec [/mm] x ^T (-)A [mm] \vec [/mm] x > 0$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] A ist negativ definit $ [mm] \gdw [/mm] $ -A ist positiv definit

Was meinst Du dazu?

Gruß
Takota

Bezug
                        
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich schon die
> erste Äquivalenz nicht:
>  
> A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] -A ist positiv definit
>  
> Wie kann man das Einsehen? Dazu habe ich mir folgendes
> überlegt:
>  
> Ausgehend von der Definition für negativ definit, also
> [mm]\vec x ^T A \vec x < 0[/mm] folgt:
>  
> [mm]\vec x ^T A \vec x < 0 \gdw (-1)\vec x ^T A \vec x > 0 = \vec x ^T (-)A \vec x > 0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] -A ist positiv
> definit
>  
> Was meinst Du dazu?

Alles bestens

>  
> Gruß
>  Takota


Bezug
                                
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Mo 09.07.2018
Autor: Takota

Das freut mich :-)

Dann versuch ich mich mal an der nächsten Äquivalenz: "-A positiv definit [mm] $\gdw$ $(-1)^k*A_k$" [/mm]

Mit:
[mm] $A^U:=-A$; [/mm]

[mm] $A^U_k:=$ [/mm] Der k-te Hauptminor von der Matrix [mm] $A^U$; [/mm]

[mm] $A^U_{kxk}$ [/mm] := Die Untermatrix des k-ten Hauptminor und

[mm] $A_k$:=k-te [/mm] Hauptminor von der Matrix A.

Da nach Voraussetzung [mm] $A^U$ [/mm] positiv definit ist, muß jeder k-te Hauptminor, nach Hurwitz-Kriterium, positiv sein, d.h.:

[mm] $A^U_k [/mm] := [mm] det(A^U_{kxk})$ [/mm] > 0 $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\}$ [/mm]

Allgemein gilt: [mm] det(\lambda [/mm] A) = [mm] \lambda [/mm] * det(A)

Da in [mm] $A^U_k$ [/mm] der Faktor (-1)jeweils in den k-Spalten, bzw., k-Zeilen dieser Untermatrix enthalten ist folgt:

[mm] $A^U_k [/mm] =  [mm] det(A^U_{kxk}) [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] det(A_{kxk}) [/mm] = [mm] (-1)^k*A_k [/mm] > 0$; $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\} [/mm] $

q.e.d

Daraus folgt schließlich insgesamt:

Die Matrix A ist negativ definit [mm] $\gdw (-1)^k*A_k [/mm] > 0 $ ; [mm] \forall [/mm] k [mm] \varepsilon \{1,2,...,n\} [/mm]

Ist das soweit richtig?

LG
Takota

Bezug
                                        
Bezug
Hurwitz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Das freut mich :-)
>  
> Dann versuch ich mich mal an der nächsten Äquivalenz: "-A
> positiv definit [mm]\gdw[/mm] [mm](-1)^k*A_k[/mm]"
>  
> Mit:
>  [mm]A^U:=-A[/mm];
>  
> [mm]A^U_k:=[/mm] Der k-te Hauptminor von der Matrix [mm]A^U[/mm];
>  
> [mm]A^U_{kxk}[/mm] := Die Untermatrix des k-ten Hauptminor und
>  
> [mm]A_k[/mm]:=k-te Hauptminor von der Matrix A.
>
> Da nach Voraussetzung [mm]A^U[/mm] positiv definit ist, muß jeder
> k-te Hauptminor, nach Hurwitz-Kriterium, positiv sein,
> d.h.:
>  
> [mm]A^U_k := det(A^U_{kxk})[/mm] > 0 [mm]\forall k \varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>  
> Allgemein gilt: [mm]det(\lambda[/mm] A) = [mm]\lambda[/mm] * det(A)

Nein. Ist A eine nxn - Matrix, so ist [mm] $\det( \lambda A)=\lambda^n \det(A)$ [/mm]

>  
> Da in [mm]A^U_k[/mm] der Faktor (-1)jeweils in den k-Spalten, bzw.,
> k-Zeilen dieser Untermatrix enthalten ist folgt:
>  
> [mm]A^U_k = det(A^U_{kxk}) = (-1)^k * det(A_{kxk}) = (-1)^k*A_k > 0[/mm];
> [mm]\forall k \varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>  
> q.e.d
>  
> Daraus folgt schließlich insgesamt:
>  
> Die Matrix A ist negativ definit [mm]\gdw (-1)^k*A_k > 0[/mm] ;
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\varepsilon \{1,2,...,n\}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?

Sieht gut aus.

>  
> LG
>  Takota


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]