Homomorphismus, Surj < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 10.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | DIe Gruppe G= [mm] (\IC [/mm] ohne [mm] \{0\} [/mm] , *) und die Gruppe H = [mm] \{ \pmat{ a& b \\ -b & a }| a, b \in \IR , a^2 + b^2 \not=0 \}
[/mm]
mit der Matrizen Multiplikation und [mm] \phi: [/mm] G->H mit [mm] \phi(a+ib) =\pmat{ a& b \\ -b & a }
[/mm]
Beweisen SIe, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist und bestimmen sie ob sie auch ein Monomorphismus, Epimorphismus ist. |
[mm] \forall [/mm] z, c [mm] \in [/mm] G mit z = a+ bi und c = [mm] \overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] i
[mm] \phi( [/mm] z * c) [mm] =\phi [/mm] ( a [mm] \overline{a} [/mm] - b [mm] \overline{b} [/mm] + i *( a [mm] \overline{b}+ b\overline{a} [/mm] ) [mm] =\pmat{ a \overline{a} - b \overline{b}& a \overline{b}+ b\overline{a} \\ -a \overline{b}- b\overline{a} & a \overline{a} - b \overline{b} }= \phi [/mm] (z) * [mm] \phi [/mm] (c)
Frage 1 muss ich zeigen dass: [mm] \pmat{ a \overline{a} - b \overline{b}& a \overline{b}+ b\overline{a} \\ -a \overline{b}- b\overline{a} & a \overline{a} - b \overline{b} } \in [/mm] H ist?
Also dass (a [mm] \overline{a} [/mm] - b [mm] \overline{b})^2 [/mm] + (a [mm] \overline{b}+ b\overline{a} )^2 \not=0 [/mm] ist??
Es ist ein Monomorphismus:
[mm] \phi(z) [/mm] = [mm] \phi(c) <=>\phi(a+bi) [/mm] = [mm] \phi (\overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] i)
<=> [mm] \pmat{ a& b \\ -b & a } [/mm] = [mm] \pmat{ \overline{a}& \overline{b} \\ -\overline{b} & \overline{a} }
[/mm]
=> a = [mm] \overline{a}
[/mm]
=> b = [mm] \overline{b}
[/mm]
=> z = c
Ob es ein Epimorphismus ist habe ich leider nicht herausbekommen.
Wie kann ich die Surjektivität zeigen, oder habt ihr eine Gegenbsp?
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Hi,
> DIe Gruppe G= [mm](\IC[/mm] ohne [mm]\{0\}[/mm] , *) und die Gruppe H = [mm]\{ \pmat{ a& b \\
-b & a }| a, b \in \IR , a^2 + b^2 \not=0 \}[/mm]
>
> mit der Matrizen Multiplikation und [mm]\phi:[/mm] G->H mit
> [mm]\phi(a+ib) =\pmat{ a& b \\
-b & a }[/mm]
> Beweisen SIe, dass die
> Abbildung ein Homomorphismus ist und bestimmen sie ob sie
> auch ein Monomorphismus, Epimorphismus ist.
> [mm]\forall[/mm] z, c [mm]\in[/mm] G mit z = a+ bi und c = [mm]\overline{a}[/mm] +
> [mm]\overline{b}[/mm] i
> [mm]\phi([/mm] z * c) [mm]=\phi[/mm] ( a [mm]\overline{a}[/mm] - b [mm]\overline{b}[/mm] + i
> *( a [mm]\overline{b}+ b\overline{a}[/mm] ) [mm]=\pmat{ a \overline{a} - b \overline{b}& a \overline{b}+ b\overline{a} \\
-a \overline{b}- b\overline{a} & a \overline{a} - b \overline{b} }= \phi[/mm]
> (z) * [mm]\phi[/mm] (c)
> Frage 1 muss ich zeigen dass: [mm]\pmat{ a \overline{a} - b \overline{b}& a \overline{b}+ b\overline{a} \\
-a \overline{b}- b\overline{a} & a \overline{a} - b \overline{b} } \in[/mm]
> H ist?
Du musst für einen Homomorphismus zeigen, dass [mm] $\phi(z\cdot c)=\phi(z)\cdot \phi(c)$ [/mm] für alle [mm] $z,c\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ [/mm] ist. Und es gilt [mm] $\phi(1_{\IC})=1_{H}$, [/mm] d.h. das neutrale Element wird auf das neutrale Element abgebildet.
> Also dass (a [mm]\overline{a}[/mm] - b [mm]\overline{b})^2[/mm] + (a
> [mm]\overline{b}+ b\overline{a} )^2 \not=0[/mm] ist??
>
Rechne einfach einmal [mm] $\phi(z\cdot [/mm] c)$ aus und vergleiche dasd Ergebnis mit [mm] $\phi(z)\cdot \phi(c)$. [/mm] Ist es das gleiche?
> Es ist ein Monomorphismus:
Für injektiv reicht [mm] $\phi(z)=\phi(c)\Rightarrow [/mm] z=c$
> [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\phi(c) <=>\phi(a+bi)[/mm] = [mm]\phi (\overline{a}[/mm] +
> [mm]\overline{b}[/mm] i)
> <=> [mm]\pmat{ a& b \\
-b & a }[/mm] = [mm]\pmat{ \overline{a}& \overline{b} \\
-\overline{b} & \overline{a} }[/mm]
>
> => a = [mm]\overline{a}[/mm]
> => b = [mm]\overline{b}[/mm]
> => z = c
>
> Ob es ein Epimorphismus ist habe ich leider nicht
> herausbekommen.
> Wie kann ich die Surjektivität zeigen, oder habt ihr eine
> Gegenbsp?
Falls du keinen Gegenbeispiel findest, so probier doch folgendes. Gib dir ein Element aus $H$ beliebig vor, z.B. [mm]\pmat{ a& b \\
-b & a }[/mm].
Wie sieht das entsprechende Elemente in [mm] $\IC$ [/mm] aus? Wenn du für jedes Element in H ein Urbild in [mm] $\IC$ [/mm] explizit angeben kannst, so ist die Abbildung surjekt.
gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 11.11.2012 | | Autor: | sissile |
> Gib dir ein Element aus $ H $ beliebig vor, z.B. $ [mm] \pmat{ a& b \\ -b & a } [/mm] $.
dann gibt es ein element a+ bi in G dass auf die Matrix abbildet
=> Surjektiv
und insgesamt ein Isomorphismus.
Ich weiß nicht was ich da mehr beweisen soll/muss.
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> > Gib dir ein Element aus [mm]H[/mm] beliebig vor, z.B. [mm]\pmat{ a& b \\
-b & a } \in\IR^{2\times 2}[/mm].
> dann gibt es ein element a+ bi in G dass auf die Matrix
Dann gibt es ein Element a+bi in G. <---- ist zu beweisen und darf nicht verwendet werden
Du kannst hier das Element konkret angeben, damit es ein Element gibt.
Also:
Surjektiv heißt hier : [mm]\red{\forall\; h}\blue{\in H\;}\green{\exists\; g\in G}\colon \phi(g)=h[/mm].
Für alle Elemente --> wir nehmen uns ein beliebiges ohne Einschränkungen
Sei [mm]h\in H[/mm] beliebig.
Was heißt: h liegt in H?
Dann hat h die Darstellung [mm]\pmat{ a& b \\
-b & a } \in\IR^{2\times 2}[/mm] mit [mm]a^2+b^2\neq 0[/mm] und [mm]a,b\in \IR[/mm]. Insbesondere ist [mm] $a\neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] b$
Wir nageln ein Element g in G fest und geben es konkret an
Sei [mm]0\neq g\in \IC[/mm] und [mm]g=a+bi[/mm]. Dieses liegt in G, da [mm] $g\neq [/mm] 0$.
Und zeigen, dass es das Urbild von h ist:
Dann gilt
[mm]\phi(g)=\phi(a+bi)=\pmat{ a& b \\
-b & a }=h[/mm].
Damit gilt: Für alle h in H existiert ein Element g in G mit [mm]\phi(g)=h[/mm].
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Für den Beweis der Injektivität kann man das auch so schön aufschreiben. Nimm dir die Definition von Injektivität und [mm] $h_1,h_2\in [/mm] H$ beliebig , ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 11.11.2012 | | Autor: | sissile |
Danke, ich habe noch eine Frage:
Sei G =((0, + [mm] \infty),*)
[/mm]
[mm] H=(\IR [/mm] , +)
[mm] \phi(x) [/mm] = log(x)
Es ist klar, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist.
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] G : [mm] \phi(x*y)=log(x*y)=log(x)+log(y)=\phi(x)+\phi(y)
[/mm]
Um zuzeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, reicht es doch die Umkehrabbildung
[mm] \phi^{-1} [/mm] (x) = [mm] e^x [/mm] anzugeben oder?
LG
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> Danke, ich habe noch eine Frage:
> Sei G =((0, + [mm]\infty),*)[/mm]
> [mm]H=(\IR[/mm] , +)
> [mm]\phi(x)[/mm] = log(x)
> Es ist klar, dass die Abbildung ein Homomorphismus ist.
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] G :
> [mm]\phi(x*y)=log(x*y)=log(x)+log(y)=\phi(x)+\phi(y)[/mm]
> Um zuzeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist,
> reicht es doch die Umkehrabbildung
> [mm]\phi^{-1}[/mm] (x) = [mm]e^x[/mm] anzugeben oder?
Du nimmt ein beliebiges Element in H, also [mm] $\phi(x)=\log [/mm] (x)$.
Begründe:
- Warum existiert die Umkehrabbildung?
- liegen die Urbilder wirklich in G, also in dem offenen Intervall.
Dann erst bist du fertig. Du hast du jetzt ein Muster, wie man vorgeht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 11.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ich habe gedacht, wenn man eine Umkehrabbildung angeben kann
sodass [mm] \phi \circ \phi^{-1} [/mm] (x)= [mm] \phi^{-1} \circ \phi(x) [/mm] = id (x) so hat man die Bijektivität der Funktion gezeigt.
Hier ist ja [mm] log(e^x) [/mm] = [mm] e^{log(x)} [/mm] = x
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> Ich habe gedacht, wenn man eine Umkehrabbildung angeben
> kann
> sodass [mm]\phi \circ \phi^{-1}[/mm] (x)= [mm]\phi^{-1} \circ \phi(x)[/mm] =
> id (x) so hat man die Bijektivität der Funktion gezeigt.
Das ist richtig. Man muss nur schauen, ob man auch in G wieder landet.
> Hier ist ja [mm]log(e^x)[/mm] = [mm]e^{log(x)}[/mm] = x
Wenn [mm]h\in H[/mm] liegt, so ist [mm]h=\log(x)\in \IR[/mm] und [mm]\phi^{-1}(x)\blue{\in (0,\infty)}[/mm].
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