Homomorphismus/Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Eine Abbildung [mm] \gamma [/mm] : G [mm] \to [/mm] H heißt Homomorphismus, wenn
[mm] \gamma [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)= [mm] \gamma [/mm] (a) [mm] \circ \gamma [/mm] (b), für alle a, b [mm] \in [/mm] G.
Zeigen sie, dass es einen Homomorphismus [mm] \gamma: GL_{2}R \to [/mm] R-0 gibt mit R={ [mm] \gamma [/mm] (A) | A [mm] \in GL_{2}R [/mm] }.
Hier ist [mm] GL_{2}R [/mm] die Menge aller 2x2 Matrizen mit nicht verschwindender Determinate.
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| Aufgabe 2 | Ein Homomorphismus [mm] \gamma [/mm] : G [mm] \to [/mm] H heißt Isomorphismus, wenn die Abbildung eine 1-1 Zuordung ist. Sei G eine Gruppe, die treu auf einer Menge M operiert. zeigen sie, das es einen Isomorphismus
[mm] Stab_{x}(G) \to Stab_{y} [/mm] (G)
gibt, wenn es ein g [mm] \in [/mm] G gibt mit g(x)=y. |
zu Aufgabe 1)
Sorry , aber ich habe echt keine Ahnung, was ich dazu schreiben soll....
ich weiß nur das es etwas mit der Formel Det(A [mm] \circ [/mm] B) = Det (A) [mm] \circ [/mm] Det (B)
Aber mehr keine Ahnung...hoffe ihr könnt mit trotzdem helfen......
zu Aufgabe 2)
h [mm] \in Stab_{x}
[/mm]
k [mm] \in Stab_{x}
[/mm]
g(x)=y
muss man da bijektivität nachweisen, wenn ja wie?
Wie löse ich die Aufgabe....
Es tut mir wirklich leid , aber ich kann mir einfach nichts oder nur sehr wenig darunter vorstellen......
Viellen dank für eure Hilfe.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Die erste Aufgabe macht keinen Sinn. Gesucht ist eine Abbildung [mm] $\gamma:GL_2(\IR)\to\IR\to\setminus\{0\}$. [/mm] Für diese kann nicht [mm] $\gamma(GL_2(\IR))=\IR$ [/mm] gelten. Ich nehme an, gemeint ist [mm] $\gamma(GL_2(\IR))=\IR\setminus\{0\}$, [/mm] wir suchen also einen surjektiven Homomorphismus (Epimorphismus).
Dabei bietet sich die Determinantenfunktion an. Seien [mm] $A,B\in GL_2(\IR)$. [/mm] Wegen $det(AB)=det(A)det(B)$ ist $det$ ein Homomorphimus. Die Aufgabe, für ein [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] ein [mm] $A_x\in GL_2(\IR)$ [/mm] zu konstruieren, überlasse ich dir; das ist nicht schwierig. Überlege dir auch, warum $det$ kein Isomorphismus ist (ist $det$ injektiv?).
zu Aufgabe 2)
> h $ [mm] \in Stab_{x} [/mm] $
> k $ [mm] \in Stab_{x} [/mm] $
> g(x)=y
> muss man da bijektivität nachweisen, wenn ja wie?
> Wie löse ich die Aufgabe....
> Es tut mir wirklich leid , aber ich kann mir einfach nichts oder nur sehr wenig darunter vorstellen......
Ich nenne dir nur die gesuchte Abbildung. Zu zeigen, dass diese ein Isomorphismus ist, überlasse ich dir.
Es seien also [mm] $x,y\in [/mm] M$ und es existiere ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit $g(x)=y$. Definiere nun: [mm] $f_{x,y}:Stab_{x}\to Stab_{y}$ [/mm] über [mm] $f(h)=ghg^{-1}$. [/mm]
Beweise du nun, dass $f$ tastsächlich ein Isomorphismus ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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