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Homomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Do 03.05.2007
Autor: MasterMG

Hi an alle......

Also, ich möchte folgende Aussage beweisen:

[mm] \alpha [/mm] ist ein Homomorphismus von [mm] (\IQ_{>0},+) [/mm] in [mm] (\IQ_{>0},+) \Rightarrow \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}:\alpha(na)=n\alpha(a). [/mm]

Nun, da das ein relativ neues Thema für mich ist, weiss ich nicht genau wie ich das

zeigen kann. Also, erstmal setzte ich voraus, dass [mm] \alpha [/mm] ein Homomorphismus von [mm] (\IQ_{>0},+) [/mm] in

[mm] (\IQ_{>0},+) [/mm] ist.  D. h., [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in\IQ_{>0} [/mm] gilt: [mm] \alpha(a+b)=\alpha(a)+\alpha(b). [/mm] Das würde [mm] \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0} [/mm] dann ja

auch glten, da [mm] \IN \subseteq \IQ_{>0}. [/mm] Also: [mm] \alpha(a+n)=\alpha(a)+\alpha(n). [/mm] Aber hilft mir das

hier überhaupt weiter? Auf welchem Wege kann ich nun zeigen, dass dann

[mm] \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}:\alpha(na)=n\alpha(a) [/mm] gilt?

Danke

MFG


        
Bezug
Homomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Do 03.05.2007
Autor: angela.h.b.


> ich möchte folgende Aussage beweisen:
>  
> [mm]\alpha[/mm] ist ein Homomorphismus von [mm](\IQ_{>0},+)[/mm] in
> [mm](\IQ_{>0},+) \Rightarrow \forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}:\alpha(na)=n\alpha(a).[/mm]

Hallo,

wir haben als Grundmenge [mm] \IQ_{>0} [/mm] zusammen mit der Addition zur Verfügung.

Zunächst einmal sollten wir uns darüber Rechenschaft ablegen, was überhaupt mit na für [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] a\in\IQ_{>0} [/mm] gemeint ist.
Denn innerhalb von [mm] \IQ_{>0} [/mm] steht uns ja gar keine Multiplikation zur Verfügung, denn wir betrachten die Menge ja lediglich mit der Addition.

Des Rätsels Lösung: na ist eine abkürzende Schreibweise für [mm] \underbrace{a+...+a}_{n-{mal}}. [/mm]

>  
>  Also, erstmal setzte ich voraus, dass [mm]\alpha[/mm]
> ein Homomorphismus von [mm](\IQ_{>0},+)[/mm] in
>  
> [mm](\IQ_{>0},+)[/mm] ist.

Genau.

>  D. h., [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in\IQ_{>0}[/mm] gilt:
> [mm]\alpha(a+b)=\alpha(a)+\alpha(b).[/mm]

Ja.

[*]

> Das würde [mm]\forall n\in\IN, a\in\IQ_{>0}[/mm]
> dann ja
>  
> auch glten, da [mm]\IN \subseteq \IQ_{>0}.[/mm]

Hier kommt ins Spiel, was ich oben schrieb. Dir steht keine Multiplikation in [mm] \IQ [/mm] zur Verfügung.



> [/mm] Also:
> [mm]\alpha(a+n)=\alpha(a)+\alpha(n).[/mm]

[mm] an\not=a+n. [/mm]

Gehen wir nach diesem Intermezzo zurück zu
[*].

Wir müssen nun überlegen, was zu zeigen ist. Nachdem geklärt ist, was sich hinter na verbirgt, ist das nicht schwer.

Zu zeigen ist [mm] \alpha(an)=(\alpha(\underbrace{a+...+a}_{n-{mal}}))=n\alpha(a)=(\underbrace{\alpha(a)+...+\alpha(a)}_{n-{mal}}). [/mm]

Ich hoffe, Du siehst nun klarer, worum es geht.

Tip: Du kannst das bequem mit vollständiger Induktion zeigen.

Gruß v. Angela



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