Homomorphismus < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Sei G ein Monoid. Für festes [mm] x\inG [/mm] definiert
[mm] \varphi:\IN\mapsto [/mm] G, [mm] n\mapsto x^{n}, [/mm]
einen Monoidhomomorphismus, wenn man [mm] \IN [/mm] als Monoid unter der Addition auffasst. Ist G eine Gruppe, so erhält man in gleicher Weise einen Gruppenhomomorphismus
[mm] \varphi:\IZ\mapsto [/mm] G, [mm] n\mapsto x^{n}, [/mm]
wobei [mm] x^{n}:=(x^{-1})^{-n} [/mm] für n<0 gesetzt sei.
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Hallo alle zusammen,
ich verstehe leider nicht was ein Monoid- bzw. Gruppenhomomorphismus ist und woran man einen solchen erkennt ( z.B. oben).
Ich würde mich sehr über Erklärungen freuen!
Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mo 04.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Docy,
was ist deine Arbeitsbasis, worauf können wir uns beziehen (Bosch?).
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 04.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy!
> Hallo alle zusammen,
> ich verstehe leider nicht was ein Monoid- bzw.
> Gruppenhomomorphismus ist und woran man einen solchen
> erkennt ( z.B. oben).
Ein Gruppenhomomorphismus (oder ein Monoidhomomorphismus) ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen (oder zwei Monoiden), der mit der Struktur vertraeglich ist. (Definition 4 auf Seite 13.)
Den Begriff `mit der Struktur vertraeglich' wirst du noch sehr oft hoeren. Damit ist gemeint, das die Abbildung die Struktur (also die Gruppen- oder Monoidstruktur) beruecksichtigt; hat man etwa ein Produkt $a [mm] \cdot [/mm] b$ mit $a, b [mm] \in [/mm] G$ in einem Monoid $G$, und ist [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H$ ein Monoidhomomorphismus, dann soll [mm] $\varphi$ [/mm] das Produkt `erhalten', also $a [mm] \cdot [/mm] b$ auf [mm] $\varphi(a) \times \varphi(b)$ [/mm] abbilden -- wobei [mm] $\times$ [/mm] hier das Produkt in $H$ ist und [mm] $\cdot$ [/mm] das Produkt in $G$!
Und das neutrale Element $e$ von $G$ soll natuerlich wieder auf das neutrale Element von $H$ abgebildet werden. Wenn das nicht gelten wuerde, dann wuerde [mm] $\varphi$ [/mm] nicht die Struktur beruecksichtigen und waere genauso hilfreich wie eine beliebige Abbildung [mm] $\psi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H$, naemlich so gut wie ueberhaupt nicht...
> Sei G ein Monoid. Für festes [mm]x\inG[/mm] definiert
>
>
> [mm]\varphi:\IN\mapsto[/mm] G, [mm]n\mapsto x^{n},[/mm]
Hier entspricht die Homomorphieeigenschaft von [mm] $\varphi$ [/mm] gerade den Potenzgesetzen: Es ist [mm] $\varphi(0) [/mm] = [mm] x^0 [/mm] = e$ und [mm] $\varphi(n [/mm] + m) = [mm] x^{n + m} [/mm] = [mm] x^n \cdot x^m [/mm] = [mm] \varphi(n) \cdot \varphi(m)$. [/mm] Das die Potenzgesetze hier gelten, muss man also gerade nachrechnen, wenn man zeigen will, dass [mm] $\varphi$ [/mm] ein Monoidmorphismus ist!
Was anderes: Dass man das Nachrechnen muss erscheint auf den ersten Blick vielleicht komisch, weil es ja irgendwie klar ist. Aber was ist, wenn man in der Definition von Monoid die Assoziativitaet weglaesst? (Das Resultat nennt sich dann Magma mit neutralen Element.) Dann kann es vorkommen, dass es in einem solchen Magma ein Element $x$ gibt und zwei natuerliche Zahlen $n, m [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x^n x^m \neq x^{n+m}$!
[/mm]
(So ein Gegenbeispiel kann man auch recht einfach konstruieren, da man nicht viel beachten muss wenn man eine Verknuepfungstabelle fuer ein Magma angibt. Wer Lust hat kann sich eins ueberlegen  )
LG & HTH, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Felix,
danke für die ausführliche Antwort, die hat mir sehr geholfen! Wo ist aber dann der Unterschied zw. Homomorphismus und Isomorphismus? Kannst du mir das noch erklären?
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
von einem Isomorphismus spricht man wenn die Funktion f bijektiv und die Umkehrfunktion auch ein Homomorphismus ist.
Kommst du mit diesen Begriffen weiter?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Docy |
ok, ich hab's!
Vielen Dank euch beiden!
Gruß
Docy
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