Homomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 23.11.2005 | | Autor: | dauwer |
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten, finde aber keine Lösung.
Sei [mm] $(G,\*)$ [/mm] eine (nicht notwendig abelsche) Gruppe und [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] eine additive Gruppe der ganzen Zahlen.
Zeigen Sie: Zu jedem a [mm] \in [/mm] G existiert genau ein Homomorphismus [mm] $$f_{a}:\IZ \to [/mm] G$ mit [mm] $f_{a}(1)=a.$$
[/mm]
Bestimmen Sie Bild [mm] f_{a}.
[/mm]
Es wäre toll wenn mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen könnte.
Grüsse, Dauwer
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Webseiten gestellt.
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Hallo!
Versuch dir doch erstmal, ein Bild von dieser Funktion zu machen! Was ist z.B. [mm] $f_a(2)$? [/mm] Und [mm] $f_a(3)$? [/mm] Benutz dazu, dass [mm] $f_a$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist!
Du wirst feststellen, dass [mm] $f_a$ [/mm] durch seine Wirkung auf $1$ bereits eindeutig festgelegt ist...
Kommst du jetzt ein bisschen weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 23.11.2005 | | Autor: | dauwer |
Sorry, aber dieser Lösungsansatz hat mir leider nicht weitergeholfen.
Wie zeigt man dass ein Homomorphismus existiert?
Und wie bestimmt man $Bild [mm] f_{a}$ [/mm] ?
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> Sorry, aber dieser Lösungsansatz hat mir leider nicht
> weitergeholfen.
> Wie zeigt man dass ein Homomorphismus existiert?
Hallo,
weißt Du denn, was ein Gruppenhomomorphismus ist?
Gesucht ist hier ein Homomorphismus mit [mm] f_a(1)=a.
[/mm]
Wenn [mm] f_a [/mm] ein Homomorphismus sein soll, was muß denn dann zwangsläufig [mm] f_a(x) [/mm] sein?
(Tip: x, das ist ja die 1 x-mal addiert.)
==> der Homomorphismus ist durch [mm] f_a(1) [/mm] eindeutig bestimmt.
Die Existenz zeigst Du, indem Du nachweist, daß [mm] f_a [/mm] tatsachlich ein Homomorphismus ist.
> Und wie bestimmt man [mm]Bild f_{a}[/mm] ?
Indem man guckt, was [mm] f_a [/mm] ( [mm] \IZ) [/mm] ergibt.
Gruß v. Angela
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