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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 08.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo.
Ich habe ein Problem mit folgendem Beweis:
Beweisen Sie dass
i) jeder Durschnittshomomorphismus auch ein Ordnungshomomorphismus ist.
ii) nicht jeder Durschnittshomomorphimus ein Vereinigungshomomorphismus ist.
Mein Problem ist, das ich keine Idee habe wie ich hier vorgehen soll. Die Definitionen für die einzelnen Homomorphie-typen habe ich, trotzdem habe ich keine Idee :(
Grüße
[mm] dump_0
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Hallo,
es waere vielleicht gut gewesen, die definitionen gerade nochmal in die Frage mit
aufzunehmen. Ich vermute mal:
Sei X Menge, P(X) der Potenzmengenverband (jeder Boole'sche Verband kann als
Unterverband eines solchen dargestellt werden). Ebenso Y, P(Y).......
Dann heisst [mm] h\colon P(X)\to [/mm] P(Y)
(a) Durchschnittshom. gdw [mm] \forall A,B\in [/mm] P(X) [mm] h(A\cap B)=h(A)\cap [/mm] h(B)
(b) Ordnungshomom. gdw [mm] \forall A\subseteq B\in [/mm] P(X) [mm] h(A)\subseteq [/mm] h(B)
(c) Vereinigungshom. gdw ............. [mm] h(A\cup B)=h(A)\cup [/mm] h(B)
Zeigen wir (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b):
Seien [mm] A\subseteq B\in [/mm] P(X), dann ist
[mm] h(A)=h(A\cap [/mm] B) = [mm] h(A)\cap [/mm] h(B) was nichts anderes heisst, als dass [mm] h(A)\subseteq [/mm] h(B).
Zeigen wir, dass nicht immer (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (c) gelten muss - durch Konstruktion eines
Gegenbeispiels: X beliebigmit [mm] |X|\geq [/mm] 1, definiere [mm] h\colon P(X)\to [/mm] P(X) vermoege
h(A) = X falls A=X
[mm] h(A)=\emptyset [/mm] sonst
Dann ist h Schnitthomom., aber kein Vereinigungshomom..
Gruss.
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also den Beweis zu (i) versteh ich, ich habe es allerdings nicht über die Potenzmenge gemacht, sondern allgemein, die Def. sind fast idetnisch mit meinen, wir habens halt wieder ohne Hilfe der Potenzmenge gemacht.
Durchschnittshom.:
1) h ist eine totale, surjektive Abb. [tex]h: M_1 \to M_2[/tex]
2) [tex]h(x \cap y) = h(x) \cap h(y)[/tex].
Ordnungshom.:
1) siehe Durchschnittshom.
2) x [mm] \le [/mm] y [mm] \to[/mm] [tex]h(x) \le h(y)[/tex].
Ich habe mal versucht (i) zu lösen, mithilfe deiner Bemerkungen,
also sei X eine Menge, h ein Durchschnittshom., dann ist
[tex]h(x \cap y) = h(x) \cap h(y)[/tex]. Genauer ist dann [tex]x = x \cap y [/tex] und [tex]h(x) = h(x \cap y) = h(x) \cap h(y)[/tex].
Somit ist dann x [mm] \le [/mm] x [mm] \cap [/mm] y und [tex]h(x) \le h(x \cap y)[/tex], da h ja ein Durchschnittshom. ist. Somit ist h dann auch ein Ordnungshom.
Ich weiß aber nicht ob das so richtig ist ?
Bei (ii) ist mir das noch nicht so klar mit dem Beweis.
Mfg
[mm] dump_0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also ich habe jetzt beide Aufg. mit dank eurer Hilfe so gemacht:
(i) Sei X eine Menge, [tex]x,y \in X[/tex] und h ein [mm] \cap [/mm] - Homomorphismus.
Wenn also [tex]x = x \cap y[/tex] ist, dann ist [tex]h(x) = h(x\cap y) = h(x) \cap h(y)[/tex].
Daraus folgt, dass [tex]x \le y[/tex], dann auch [tex]h(x) \le h(y)[/tex]. Damit ist h auch ein Ordnungshomomorphismus.
(ii) Sei X eine Menge mit [tex]X \not= \emptyset, A,B \subseteq X, A \cup B = X, A \not= X, B \not= X[/tex] und sei h ein [mm] \cap [/mm] - Homomorphismus [tex]h: X \to X[/tex].
Angenommen h sein nun auch ein [mm] \cap [/mm] - Homomorphismus.
Nach Def. bedeutet das [tex]h(A \cup B) = h(x) = X[/tex].
Dann würde aber auch gelten [tex]\emptyset = \emptyset \cup \emptyset = h(A) \cup h(B) = h(A \cup B) = X[/tex]. Da aber [tex]X \not= \emptyset[/tex], führt dies zum Widerspruch das h ein [mm] \cup [/mm] - Homomorphismus ist.
Würde das dann so stimmen ?
Grüße
[mm] dump_0
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Vom Prinzip her ist Dir die Sache schon klargeworden.
Mir persönlich drängen sich jedoch einige Fragen auf.
> Also ich habe jetzt beide Aufg. mit dank eurer Hilfe so
> gemacht:
>
> (i) Sei X eine Menge, [tex]x,y \in X[/tex] und h ein [mm]\cap[/mm] -
> Homomorphismus.
> Wenn also [tex]x = x \cap y[/tex] ist, dann ist [tex]h(x) = h(x\cap y) = h(x) \cap h(y)[/tex].
>
> Daraus folgt, dass [tex]x \le y[/tex], dann auch [tex]h(x) \le h(y)[/tex]. Damit
> ist h auch ein Ordnungshomomorphismus.
Wo kommt das [mm] "$\le$" [/mm] her? Wir müssen doch nicht zwangsweise eine Ordnungsrelation zur Verfügung haben.
Was, wenn ich einen Ordnungshomomorphismus von {Karlheinz, Paul, x²} in {3, Schweinebraten, y, Max} konstruiere?
Entschuldige das abgedroschene Beispiel...
Was ist dann mit den $x,y$ los? Sind das tatsächlich Elemente aus $X$ oder müßten es nicht vielmehr Elemente aus [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] sein, sprich, Teilmengen von $X$?
Gruß,
Christian
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Hallo Freunde der Ordnungstheorie,
eine allgemeine Bemerkung, die sich an den Eintrag von Christian anschliesst:
Die Notation [mm] ''\cap'' [/mm] verwendet man doch eigentlich nur dann, wenn man
Teilstrukturen eines Boole'schen Potenzmengenverbandes P(X) ( X eine Menge, P(X) ihre
Potenzmenge) hat. Im allgemeinen sprechen wir ueber partielle Ordnungen
[mm] (P,\leq) [/mm] , wobei [mm] \leq [/mm] eine Menge und [mm] \leq \subseteq P\times [/mm] P eine partielle Ordnung auf P ist. Fuer diesen allgemeinen Fall ist dann zu [mm] x,y\in [/mm] P
-sofern existent - [mm] x\wedge [/mm] y das Infimum von x und y bzgl. der part. Ordnung [mm] \leq, [/mm] d.h.
ein Element [mm] z\in [/mm] P mit [mm] z\leq x,z\leq [/mm] y und so dass fuer alle [mm] a\in [/mm] P mit [mm] a\leq [/mm] x, [mm] a\leq [/mm] y
auch [mm] a\leq [/mm] z gilt.
Analog ist [mm] x\vee [/mm] y das Supremum. Wohlgemerkt: Im allgemeinen muessen diese
nicht existieren.
Spricht man ueber Verbaende, so meint man damit i.a. Strukturen
[mm] (L,\vee, \wedge, [/mm] 0,1), wobei [mm] 0,1\in [/mm] L und [mm] \vee, \wedge \colon L^2\to [/mm] L sind und
gewissen Axiomen genuegen. Definiert man dann
[mm] a\leq [/mm] b [mm] \Leftrightarrow a\vee [/mm] b =b [mm] \Leftrightarrow a\wedge [/mm] b =a,
so ist [mm] \leq [/mm] eine partielle Ordnung auf L mit der Eigenschaft, dass -bezueglich [mm] \leq [/mm] -
0 das Minimum in L, 1 das maximum in L, [mm] x\vee [/mm] y das Supremum von x, y und [mm] x\wedge [/mm] y
das Infimum von x,y sind (d.h. Supremum und Infimum existeiren fuer zwei Elemente
x,y stets (von beliebigen Teilmengen NICHT notwendig !!! ).
Hat man noch eine einstellige Operation [mm] \overline{.....} [/mm] gegeben und gelten weitere
Axiome, so spricht man von einer Boole'schen Algebra oder auch einem Boole'schen
Verband.
Ein Standardbeispiel ist der Potenzmengenverband zu einer Menge X:
L=P(X), [mm] A\vee [/mm] B = [mm] A\cup [/mm] B, [mm] A\wedge B=A\cap [/mm] B, [mm] 0=\emptyset, [/mm] 1 =X,
[mm] \overline{A}=X\setminus [/mm] A.
Jeder Boole'sche Verband ist isomorph zu einem Teilverband eines
Potenzmengenverbandes.
Ich hoffe,
das traegt zur Klaerung der Begriffe und Notationen bei.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mathias!
Okay, sorry, ich wusste nicht, dass man allgemein [mm] "$\cap$" [/mm] für das Minimum nicht verwendet und hatte die Notationen nur vom Fragesteller übernommen. Man ersetze also gedanklich alle meine [mm] "$\cap$"s [/mm] durch [mm] "$\wedge$"s [/mm] (unter der Voraussetzung, dass diese existieren).
Danke für den Hinweis! 
Liebe Grüße
Stefan
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