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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 09.01.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich habe eine kurze Frage zu der homogenen Lösung einer Differentialgleichung.
Die allgemeine Form lautet: [mm] y_{h}(x) [/mm] = [mm] C*e^{-ax}, [/mm] wobei -a ja der Eigenwert ist.
Bei DGL zweiter und höherer Ordnung stand ich nun schon öfters vor folgenden Sachverhalt - dazu drei Beispiele:
Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -3
Homogene Lösung: [mm] y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-3x}
[/mm]
Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
Homogene Lösung: [mm] y_{h}(x) =C_{1}*e^{2x}+ C_{2}*e^{x}
[/mm]
Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
Homogene Lösung: [mm] y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-x}x
[/mm]
Ich verstehe nun nicht, warum mein Eigenwert im negativen Fall (Beispiel 1) auch in der homogenen Lösung noch negativ bleibt, wenn dieser doch als -a angegeben ist und im anderen Fall positive Eigenwerte dann einmal in der homogenen Lösung negativ und einmal positiv sein müssen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mi 10.01.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe eine kurze Frage zu der homogenen Lösung einer
> Differentialgleichung.
"homogene" Lösung ist Unsinn. Man spricht von Lösungen einer homogenen linearen DGL.
>
> Die allgemeine Form lautet: [mm]y_{h}(x)[/mm] = [mm]C*e^{-ax},[/mm] wobei -a
> ja der Eigenwert ist.
Wenn die DGL so lautet
$y'+ay=0$,
dann ja.
>
> Bei DGL zweiter und höherer Ordnung stand ich nun schon
> öfters vor folgenden Sachverhalt - dazu drei Beispiele:
Ich vermute, dass es sich jeweils um eine DGL der Form
(*) $y''+ay'+by=0$
handelt.
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = -3
> Homogene Lösung: [mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-3x}[/mm]
Das ist O.K.
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1
> Homogene Lösung: [mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{2x}+ C_{2}*e^{x}[/mm]
Auch O.K.
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1
> Homogene Lösung: [mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-x}x[/mm]
Das stimmt nicht. Die allg. Lösung der DGL lautet hier
[mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{x}+ C_{2}*e^{x}x[/mm]
>
> Ich verstehe nun nicht, warum mein Eigenwert im negativen
> Fall (Beispiel 1) auch in der homogenen Lösung noch
> negativ bleibt, wenn dieser doch als -a angegeben ist und
> im anderen Fall positive Eigenwerte dann einmal in der
> homogenen Lösung negativ und einmal positiv sein müssen
Ganz ehrlich: ich verstehe Dei Problem nicht.
Betrachten wir also die DGL $y''+ay'+by=0$. Das zugeh. char. Polynom lautet
[mm] $p(\lambda)=\lambda^2+a \lambda [/mm] +b$.
Wir hehmen nun an, dass p die reellen Nullstellen [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] hat.
Im Falle [mm] \lambda_1 \ne \lambda_2 [/mm] lautet die allg. Lösung der DGL wie folgt:
[mm] $y_h(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_1e^{\lambda_2x}.
[/mm]
Im Falle [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] lautet die allg. Lösung der DGL wie folgt:
[mm] $y_h(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_1xe^{\lambda_1x}.
[/mm]
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