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Forum "Differentialgleichungen" - Homogene Dgl
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Homogene Dgl: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Do 31.05.2012
Autor: judithlein

Aufgabe
Bestimmen Sie für Konstanten K >0, P>0 die Lösung der Differentialgleichung

[mm] y^{(4)} [/mm] + K*y =0

mit y(x) [mm] \mapsto [/mm] 0, für x [mm] \mapsto \infty [/mm] , y'(0)=0 und y'''(0) = -P.

Hallo,

kann mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen?
Also zuerst muss ich doch das charakteristische Polynom bestimmen um die Nullstellen zu berechnen. Das sind in diesem Falle komplexe Nullstellen, und zwar:
[mm] \lambda^{4} [/mm] = -K

Und wie mache ich nun weiter???

Danke schon mal!

Gruß

        
Bezug
Homogene Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie für Konstanten K >0, P>0 die Lösung der
> Differentialgleichung
>  
> [mm]y^{(4)}[/mm] + K*y =0
>  
> mit y(x) [mm]\mapsto[/mm] 0, für x [mm]\mapsto \infty[/mm] , y'(0)=0 und
> y'''(0) = -P.
>  Hallo,
>  
> kann mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen?
>  Also zuerst muss ich doch das charakteristische Polynom
> bestimmen um die Nullstellen zu berechnen. Das sind in
> diesem Falle komplexe Nullstellen, und zwar:
>  [mm]\lambda^{4}[/mm] = -K

Berechne diese 4 (komplexen) Lösungen

Dann sehen wir weiter.

>  
> Und wie mache ich nun weiter???
>  
> Danke schon mal!
>  
> Gruß


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Bezug
Homogene Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Do 31.05.2012
Autor: judithlein

Das ist eine vierfache Nullstelle bei [mm] \pm \wurzel{K}*i [/mm]

Oder?

Bezug
                        
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Homogene Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> Das ist eine vierfache Nullstelle bei [mm]\pm \wurzel{K}*i[/mm]
>  
> Oder?

Nein.

Bestimme [mm] z_0,...,z_3 [/mm] so, dass [mm] z_j^4=-1 [/mm] ist (also die 4. Wurzeln aus -1)

Setze [mm] \lambda_j:=\wurzel[4]{K}*z_j [/mm] (j=0,1,2,3)

Damit hast Du die Lösungen der Gl. [mm] \lambda^4=-K [/mm]

FRED


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Homogene Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Do 31.05.2012
Autor: judithlein

Du meinst mittels "Radizieren von komplexen Wurzeln" ?
Also dann erhalte ich die Nullstellen:

[mm] \lambda_{0} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}) [/mm] ]

[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ \bruch{\pi}{2}) [/mm] ]

[mm] \lambda_{2} [/mm] =  [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4} [/mm] + [mm] \pi) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ \pi) [/mm] ]

[mm] \lambda_{3} [/mm] =  [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4} [/mm] + [mm] 3*\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ 3*\bruch{\pi}{2}) [/mm] ]




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Homogene Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Do 31.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo judithlein,

bitte Fragen als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen ...


> Du meinst mittels "Radizieren von komplexen Wurzeln" ?
>  Also dann erhalte ich die Nullstellen:
>  
> [mm]\lambda_{0}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{K}[/mm] * [mm]\wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4})[/mm] + [mm]i*sin(\bruch{\alpha}{4})[/mm] ] [ok]
>  
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{K}[/mm] *  [mm]\wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4}[/mm] + [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] +  [mm]i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ \bruch{\pi}{2})[/mm] ] [ok]
>  
> [mm]\lambda_{2}[/mm] =  [mm]\wurzel[4]{K}[/mm] *  [mm]\wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4}[/mm] + [mm]\pi)[/mm] +  [mm]i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ \pi)[/mm] ] [ok]
>  
> [mm]\lambda_{3}[/mm] =  [mm]\wurzel[4]{K}[/mm] *  [mm]\wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4}[/mm] + [mm]3*\bruch{\pi}{2})[/mm] +  [mm]i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ 3*\bruch{\pi}{2})[/mm] ] [ok]

Den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] kennst du doch, rechne die Werte [mm] $\lambda_j$ [/mm] damit konkret(er) aus!


Gruß

schachuzipus


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Homogene Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Do 31.05.2012
Autor: judithlein

Hier ist [mm] \alpha=0 [/mm] ? Bin mir gerade nicht so sicher...

Bezug
                                                        
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Homogene Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> Hier ist [mm]\alpha=0[/mm] ? Bin mir gerade nicht so sicher...

Nicht raten ! Denken. Welches Argument hat -1 ?

FRED


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Homogene Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Do 31.05.2012
Autor: judithlein

Ok, habe noch mal nachgeschlagen....ich glaube es ist so:

Ich habe ja [mm] r=\wurzel[4]{1} [/mm] >0 , was in der Gleichung a + ib bei mir das b ist und a=0, und deswegen ergibt sich für den Winkel [mm] \alpha [/mm] =  [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]



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Homogene Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Do 31.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ok, habe noch mal nachgeschlagen....ich glaube es ist so:
>  
> Ich habe ja [mm]r=\wurzel[4]{1}[/mm] >0 , was in der Gleichung a +
> ib bei mir das b ist und a=0, und deswegen ergibt sich für
> den Winkel [mm]\alpha[/mm] =  [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]

Wer soll dieses Kuddelmuddel verstehen?!

Ist das ein Satz?

Das liest sich wie Gestammel ...

Du wirst doch das Argument von [mm]z=-k=-k+0\cdot{}i[/mm], wobei [mm]k>0[/mm] ist, bestimmen können.

[mm]k[/mm] ist eine positive reelle Zahl, [mm]-k[/mm] also negativ reell.

Wo liegt denn das im Koordinatensystem? Doch wohl auf der negativen reellen Achse. Welchen Winkel schließt das mit der pos. reellen Achse ein?

Das kannst du ablesen und brauchst nix ausrechnen.

Nochmal: zu lösen ist [mm]\lambda^4=-k[/mm]

Dazu bestimmst du [mm]|-k|=k[/mm] und [mm]\alpha=\operatorname{arg}(-k)[/mm] - siehe oben

Dann ergeben sich die konkreten 4 Lösungen mit deinen obigen richtigen Ausdrücken für [mm]\lambda_{0,1,2,3}[/mm]


Gruß

schachuzipus


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