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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 08.07.2007 | | Autor: | cruiser |
Hallo!
Ich hab eine Aufgabe, bei der ich momentan irgendwie keinen richtigen Ansatz finde. Ich soll zeigen, dass es keinen Homöomorphismus [mm] \gamma [/mm] : [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] x [0,1] gibt. Ein Hinweis ist, das ich über den Wegzusammenhang argumentieren soll.
Schon mal im voraus dankeschön für alle Hinweise!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mo 09.07.2007 | | Autor: | SEcki |
> Hinweis ist, das ich über den Wegzusammenhang argumentieren
> soll.
> Schon mal im voraus dankeschön für alle Hinweise!
Der Hinweis sagt fast alles: nehme aus dem Intervall mal [m]0,5[/m] heraus, dann fehlt im Quadrat auch ein Punkt (durch den Homöo). Wieviele Wegzush.komponenten haben beide dann?
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:19 Mo 16.06.2008 | | Autor: | manmath |
| Aufgabe | (a) Gebe einen Homöomorphismus zwischen dem offenen Halbstreifen [mm] \IR+ \times
[/mm]
[mm] (-\pi, \pi) [/mm] und der geschlitzten Ebene [mm] \IR^{2}\setminus \{(x ,0)| x\le0 \}an [/mm] (mit Beweis).
(b) Gebe einen Homomorphismus zwischen der geschlitzten und der ungeschlitzten Ebene an. |
zu (a) habe ich als Abbildung die Polarkoordinatendarstellung, also die Abbildung von [mm] (r,\delta [/mm] ) aus dem Halbstreifen auf die kart. Koordinaten (x,y) in der geschlitzten Ebene mit
x = r cos [mm] \delta
[/mm]
y = r sin [mm] \delta
[/mm]
Die Umkehrabbildung kann ich auch noch angeben: g(x,y) := (r, sign y arccos
[mm] \bruch{x}{r}) [/mm] mit r= [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}}
[/mm]
Frage: den Homöomorphismus weise ich dadurch nach, dass die Abbildung bijektiv ist und stetig ist und die Umkehrabbildung muss auch stetig sein.
Stetigkeit von den beiden Abbildungen ergibt sich aus der Stetigkeit von den Kreisfunktionen und der Wurzel, denke ich. Surjektiv läßt sich auch zeigen, aber was ist mit injektiv? Reicht da die Existenz der Umkehrfunktion?
zu b) habe ich leider überhaupt keine Idee.
Danke schonmal im Voraus
Gruß manmath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mi 18.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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