Hom(V,V) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum und g,f [mm] \in [/mm] Hom(V,V) zwei Endomorphismen von V mit 0 = Ker(f) und 0 [mm] \not= [/mm] Ker(g) [mm] \not= [/mm] V. Zeigen Sie, dass f,g eine lineare unabhängige Familie in Hom(V,V) ist. |
So wünsche euch ein frohes neues Jahr und viel Glück für das kommende Jahr, aber leider bräuchte ich wieder eure Hilfe.
Zu der Aufgabe habe ich mir Überlegt, f: V [mm] \to [/mm] V mit x [mm] \mapsto [/mm] 0 und g: V [mm] \to [/mm] V mit x [mm] \mapsto [/mm] y [mm] \not= [/mm] 0 ist oder ist das schon falsch? Dann könnte man doch argumentieren, dass f,g l.u sind, das Ker(f)=0 und [mm] Ker(g)\not=0 [/mm] ist oder? aber da bin ich mir nicht so sicher, da ich es eh nicht so mit Ker und Im habe :).
Würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet :D.
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> Sei V ein Vektorraum und g,f [mm]\in[/mm] Hom(V,V) zwei
> Endomorphismen von V mit 0 = Ker(f) und 0 [mm]\not=[/mm] Ker(g)
> [mm]\not=[/mm] V. Zeigen Sie, dass f,g eine lineare unabhängige
> Familie in Hom(V,V) ist.
>
> Zu der Aufgabe habe ich mir Überlegt, f: V [mm]\to[/mm] V mit x
> [mm]\mapsto[/mm] 0 und g: V [mm]\to[/mm] V mit x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\not=[/mm] 0 ist oder
> ist das schon falsch?
Hallo,
der Kern der Abbildung f besteht - sofern die Dimension von V größer ist als 0 - doch nicht nur aus dem Nullvektor!
Schau Dir an, wie "Kern" definiert ist: der Kern einer Abbildung ist all das, was auf die 0 abgebildet wird.
Bei Deiner Funktion f ist das der ganze Vektorraum V.
Deine Funktion g ist völlig unklar, weil Du zwar sagst, daß g(x):=y, aber was y ist, verrätst Du nicht. Man bräuchte ja eine Bauanleitung, wie man aus dem x das g(x) bekommt.
Aber abgesehen von diesen "Kleinigkeiten" würdest Du mit der von Dir geplanten Vorgehensweise, nämlich anhand zweier Funktionen beispielhaft die Gültigkeit der Aussage zu verdeutlichen, nicht die Aufgabe lösen, denn diese ist allgemeiner:
wenn man irgendzwei Funktionen mit den angegebenen Eigenschaften hat, so sind diese, wie auch immer sie aussehen mögen, als Vektoren des Hom(V,V) betrachtet linear unabhängig.
Bevor Du nun irgendetwas tust, müßtest Du Dir mal notieren, was Du zeigen mußt, wenn Du die lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren f,g zeigen möchtest.
LG Angela
P.S.:
Ich habe Deine drei Fragen den Forenregeln entsprechend auf drei verschiedene Threads verteilt und in das passende Forum, nämlich das Hochschulforum LA, verschoben.
> Dann könnte man doch argumentieren,
> dass f,g l.u sind, das Ker(f)=0 und [mm]Ker(g)\not=0[/mm] ist oder?
> aber da bin ich mir nicht so sicher, da ich es eh nicht so
> mit Ker und Im habe :).
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet :D.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
Also erst mal Entschuldigung das ich das so gepackt gepostet habe und danke das du das aufgeteilt hat.
Die Definition des Kerns ist ja Ker(f)={v [mm] \in [/mm] V | f(v)=0} und zu zeigen ist, dass {g,f} l.u sind, also [mm] \alpha_{1}*g [/mm] + [mm] \Alpha_{2}*f [/mm] =0 für [mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{2} [/mm] =0
und Ker(g) schickt alles auf ein Element, welches [mm] \not= [/mm] 0 ist und [mm] \not= [/mm] V, also doch nicht in V ist oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 01.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also erst mal Entschuldigung das ich das so gepackt
> gepostet habe und danke das du das aufgeteilt hat.
> Die Definition des Kerns ist ja Ker(f)={v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | f(v)=0}
> und zu zeigen ist, dass {g,f} l.u sind, also [mm]\alpha_{1}*g[/mm] +
> [mm]\Alpha_{2}*f[/mm] =0 für [mm]\alpha_{1}[/mm] = [mm]\alpha_{2}[/mm] =0
So stimmt das nicht. Du sollst zeigen:
aus [mm] \alpha_{1}*g [/mm] + [mm]\alpha_{2}*f[/mm] =0 folgt [mm] alpha_1= \alpha_2=0
[/mm]
> und Ker(g) schickt alles auf ein Element, welches [mm]\not=[/mm] 0
> ist und [mm]\not=[/mm] V, also doch nicht in V ist oder?
Das ist völliger Unsinn.
Sei also
[mm] \alpha_{1}*g [/mm] + [mm]\alpha_{2}*f[/mm] =0
Jetzt nimm ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit g(x)=0 her. Dann folgt: [mm] \alpha_{2}*f(x)=0
[/mm]
Warum muß dann [mm] \alpha_2=0 [/mm] sein ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
Wenn ich doch zeigen soll, dass f,g eine l.u Familie, also Tupel bilden. Und das bedeutet doch, dass man f und g nur so linear kombinieren kann, dass der Nullvektor auf die triviale Weise erzeugt wird oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mi 02.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich doch zeigen soll, dass f,g eine l.u Familie, also
> Tupel bilden. Und das bedeutet doch, dass man f und g nur
> so linear kombinieren kann, dass der Nullvektor auf die
> triviale Weise erzeugt wird oder nicht?
Ja, das hab ich dir doch schon gesagt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Sqrt3 |
Ja ok aber wenn g(x) = = ist wie du oben gesagt hast, kann doch [mm] \alpha_{1} [/mm] jede beliebige Zahl sein und [mm] \alpha_{2} [/mm] trotzdem 0. das würde doch bedeuten, dass die g und f linear abhängig sind oder nicht?
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> Ja ok aber wenn g(x) = = ist wie du oben gesagt hast,
Hallo,
ist das das Rätsel zum neuen Jahr?
> kann
> doch [mm]\alpha_{1}[/mm] jede beliebige Zahl sein und [mm]\alpha_{2}[/mm]
> trotzdem 0.
Falls (!!!) das so ist, stimmt dies:
> das würde doch bedeuten, dass die g und f
> linear abhängig sind oder nicht?
Bloß es ist nicht so...
Schauen wir also nochmal an, worum es geht:
Aufgabe
Sei V ein Vektorraum und g,f $ [mm] \in [/mm] $ Hom(V,V) zwei Endomorphismen von V mit 0 = Ker(f) und 0 $ [mm] \not= [/mm] $ Ker(g) $ [mm] \not= [/mm] $ V. Zeigen Sie, dass f,g eine lineare unabhängige Familie in Hom(V,V) ist.
Wir halten also zunächst einmal fest, daß die 0 der einzige Vektor ist, welcher vermöge f auf die 0 abgebildet wird, und weiter notieren wir, daß es ein [mm] v\vot=0 [/mm] gibt mit g(v)=0, und daß g nicht die Nullabbildung ist.
Jetzt beachten wir mal das, was Fred Dir schrieb:
"Du sollst zeigen:
aus $ [mm] \alpha_{1}\cdot{}g [/mm] $ + $ [mm] \alpha_{2}\cdot{}f [/mm] $ =0 folgt $ [mm] \alpha_1= \\alpha_2=0 [/mm] $.
Sei also
$ [mm] \alpha_{1}\cdot{}g [/mm] $ + $ [mm] \alpha_{2}\cdot{}f [/mm] $ =0
Jetzt nimm ein x $ [mm] \ne [/mm] $ 0 mit g(x)=0 her. Dann folgt: $ [mm] \alpha_{2}\cdot{}f(x)=0 [/mm] $.
Warum muß dann $ [mm] \alpha_2=0 [/mm] $ sein ? "
Hast Du diese Frage beantwortet, also den Grund dafür, daß [mm] \alpha_2=0 [/mm] ist, gefunden?
Wenn [mm] \alpha_2=0, [/mm] dann weißt erstmal gar nichts über [mm] \alpha_1. [/mm] Du mußt es Dir überlegen:
[mm] \alpha_2=0 [/mm] ==> $ [mm] \alpha_{1}\cdot{}g [/mm] $ =Nullabbildung.
Nun müßtest Du Dir mal überlegen, was diese Gleichung bedeutet.
Nämlich dies:
für alle [mm] x\in [/mm] V ist [mm] (\alpha_{1}\cdot{}g)(x)=\alpha_1g(x)=0.
[/mm]
Und nun kommt die Voraussetzung ins Spiel...
LG Angela
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