www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Hom
Hom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Mo 10.04.2006
Autor: hallo12345

Hallo,

ich habe da mal eine Frage, ob ich etwas richtig verstanden habe:

Seien im folgenden N und M R-Moduln, wobei R ein kommutativer Ring ist. Nun definert man Hom(N,M) (oder besser [mm] Hom_R(N,M)) [/mm] als die Menge der Homomorphismen f:N [mm] \to [/mm] M.

Homomorphismus zu sein, bedeutet hier, dass f(a+b)=f(a)+f(b) und r*f(n)=f(r*n) für alle n aus N und r aus R. (Mehr nicht?)

Hom(N,M) ist selbst ein R-Modul, da Hom(N,M) mit + eine abelsche Gruppe ist (f(0)=0) und durch r*f [mm] =f\circ (r*id_N) [/mm] eine äussere Multiplikation [mm] *:R\times Hom(N,M)\to [/mm] Hom(N,M) definiert ist, die die Eigenschaften eines Moduls erfüllt.

Jeder Ring R kann als Modul über sich selbst aufgefasst werden.

Es gilt [mm] Hom_R(R,M)\cong [/mm] M.
Allgemeiner gilt für jedes Ideal I von R, dass [mm] Hom(R/I,M)\cong \{m\in M | Im=0\}. [/mm]

Wie sieht man das genau? Bestimmt muss man einen Homomorphismus u: [mm] Hom(R/I,M)\to [/mm] M durch
[mm] u\mapsto [/mm] u(1) defineren und eine Umkehrabbildung...Ist ein Homomorphismus dadurch eindeutig, dass man sagt, was auf der "Eins" passiert, wenn es eine gibt (wie in diesem Fall)?

Was ist dann [mm] Hom_\IZ(\IZ/n\IZ,\IZ) [/mm] ?

Vielen Dank!

        
Bezug
Hom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Mo 10.04.2006
Autor: felixf

Hallo!

> ich habe da mal eine Frage, ob ich etwas richtig verstanden
> habe:
>  
> Seien im folgenden N und M R-Moduln, wobei R ein
> kommutativer Ring ist. Nun definert man Hom(N,M) (oder
> besser [mm]Hom_R(N,M))[/mm] als die Menge der Homomorphismen f:N [mm]\to[/mm]
> M.
>  
> Homomorphismus zu sein, bedeutet hier, dass
> f(a+b)=f(a)+f(b) und r*f(n)=f(r*n) für alle n aus N und r
> aus R. (Mehr nicht?)

...und natuerlich $a, b [mm] \in [/mm] N$ ;-) Ja, mehr nicht!

> Hom(N,M) ist selbst ein R-Modul, da Hom(N,M) mit + eine
> abelsche Gruppe ist (f(0)=0) und durch r*f [mm]=f\circ (r*id_N)[/mm]
> eine äussere Multiplikation [mm]*:R\times Hom(N,M)\to[/mm] Hom(N,M)
> definiert ist, die die Eigenschaften eines Moduls erfüllt.

Genau.

> Jeder Ring R kann als Modul über sich selbst aufgefasst
> werden.

Genau.

> Es gilt [mm]Hom_R(R,M)\cong[/mm] M.

Genau.

>  Allgemeiner gilt für jedes Ideal I von R, dass
> [mm]Hom(R/I,M)\cong \{m\in M | Im=0\}.[/mm]
>  
> Wie sieht man das genau? Bestimmt muss man einen
> Homomorphismus u: [mm]Hom(R/I,M)\to[/mm] M durch
>  [mm]u\mapsto[/mm] u(1) defineren und eine Umkehrabbildung...

Sei [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/I$ die Projektion.

Du brauchst ein wenig den Homomorphiesatz (fuer Moduln): Ein Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] M$ mit $I [mm] \subseteq \ker\varphi$ [/mm] induziert einen eindeutigen Homomorphismus [mm] $\hat{\varphi} [/mm] : R/I [mm] \to [/mm] M$ mit [mm] $\hat{\varphi} \circ \pi [/mm] = [mm] \varphi$. [/mm]

Andersherum induziert ein Homomorphismus [mm] $\hat{\varphi} [/mm] : R/I [mm] \to [/mm] M$ genau einen Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] M$ mit $I [mm] \subseteq \ker\varphi$ [/mm] und [mm] $\hat{\varphi} \circ \pi [/mm] = [mm] \varphi$. [/mm]

Also ist [mm] $Hom_R(R/I, [/mm] M) [mm] \cong \{ \varphi \in Hom_R(R, M) \mid I \subseteq \ker\varphi \}$. [/mm]

Nun ist der Isomorphismus [mm] $Hom_R(R, [/mm] M) [mm] \to [/mm] M$ ja durch [mm] $\varphi \mapsto \varphi(1)$ [/mm] gegeben. Sei also [mm] $\varphi(1) [/mm] = m [mm] \in [/mm] M$. Dann ist $I [mm] \subseteq \ker\varphi$ [/mm] genau dann, wenn $I m = 0$ ist.

Wenn du jetzt alle diese Aussagen kombinierst bekommst du deine Aussage :)

> Ist ein
> Homomorphismus dadurch eindeutig, dass man sagt, was auf
> der "Eins" passiert, wenn es eine gibt (wie in diesem
> Fall)?

Ein Homomorphismus von $R$ nach $M$ ist dadurch eindeutig bestimmt. Genauer: zu jedem $m [mm] \in [/mm] M$ gibt es genau einen Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] M$ mit [mm] $\varphi(1) [/mm] = m$. Das ist uebrigens genau die Aussage [mm] $Hom_R(R, [/mm] M) [mm] \cong [/mm] M$.

(Du kannst diese Aussage verallgemeinern: [mm] $Hom_R(R^n, [/mm] M) [mm] \cong M^n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$.) [/mm]

> Was ist dann [mm]Hom_\IZ(\IZ/n\IZ,\IZ)[/mm] ?

Wenn $n = 0$ ist, dann ist [mm] $\IZ/n\IZ \cong \IZ$, [/mm] also ist [mm] $Hom_\IZ(\IZ/n\IZ,\IZ) \cong \IZ$ [/mm] nach dem obrigen.

Ist $n [mm] \neq [/mm] 0$, so gilt $m [mm] \cdot n\IZ [/mm] = 0$ genau dann, wenn $m = 0$ ist. Wieder nach dem obigen ist dann [mm] $Hom_\IZ(\IZ/n\IZ, \IZ) \cong \{ 0 \}$. [/mm]

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Hom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Mo 10.04.2006
Autor: hallo12345

Vielen Dank, Felix!

Nun noch etwas:

[mm] Hom_R(-,M) [/mm] ist ein kontravarianter Funktor (von der Kategorie der R-Moduln in die Kategorie der R-Moduln?).

Also für ein Objekt N erhält man ein Objekt Hom(N,M) und für eine Abbildung [mm] f:N\to [/mm] N' erhält man eine Abbildung [mm] Hom(N',M)\to [/mm] Hom(N,M), aber wieso, also wie genau?

Vielen Dank nocheinmal!

Bezug
                
Bezug
Hom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mo 10.04.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Nun noch etwas:
>  
> [mm]Hom_R(-,M)[/mm] ist ein kontravarianter Funktor (von der
> Kategorie der R-Moduln in die Kategorie der R-Moduln?).

Genau!

> Also für ein Objekt N erhält man ein Objekt Hom(N,M) und
> für eine Abbildung [mm]f:N\to[/mm] N' erhält man eine Abbildung
> [mm]Hom(N',M)\to[/mm] Hom(N,M), aber wieso, also wie genau?

Nimm dir einen Morphismus [mm] $\varphi [/mm] : N' [mm] \to [/mm] M$ aus $Hom(N', M)$. Wie bekommst du dadraus einen Morphismus $N [mm] \to [/mm] M$? Wenn du $f : N [mm] \to [/mm] N'$ gegeben hast? Es gibt genau eine schoene Moeglichkeit (und wie so oft in der Mathematik ist das dann genau die die man haben will): Verkette $f$ mit [mm] $\varhpi$, [/mm] also nimm [mm] $\varphi \circ [/mm] f : N [mm] \to [/mm] M$; das ist ein Homomorphismus, liegt also in $Hom(N, M)$.

Das diese Zuordnung [mm] $\varphi \mapsto \varphi \circ [/mm] f$ ein Homomorphismus $Hom(N',M) [mm] \to \Hom(N,M)$ [/mm] ist kann man leicht nachrechnen.

So. Damit hast du deinen kontravarianten (da richtungsverdrehenden) Funktor :-)

(Mit dem Funktor [mm] $Hom_R(N,-)$ [/mm] geht es genauso: es gibt nur eine `offensichtliche' Moeglichkeit, zu [mm] $\varphi [/mm] : M [mm] \to [/mm] M'$ eine Abbildung [mm] $Hom_R(N,M) \to Hom_R(N,M')$ [/mm] zu definieren, naemlich wieder durchs Verketten -- diesmal aber von der anderen Seite.)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Hom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:30 Mo 10.04.2006
Autor: hallo12345

Dankeschön.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]