Hölderstetige Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] beschränkt. Für [mm] \alpha\in(0,1] [/mm] heißt
[mm] C^{0, \alpha}(\overline{\Omega}):=\{f\in C(\Omega,\IR)| ||f||_{C^{0,\alpha}}<\infty \} [/mm] Menge der Hölderstetigen Funktionen auf [mm] \overline{\Omega}, [/mm] wobei [mm] ||f||_{C^{0,\alpha}}:=sup_{x\in\Omega}|f(x)|+sup_{x\not= y}|\frac{f(x)-f(y)}{(x-y)^{\alpha}}|
[/mm]
a) Seien nun $ [mm] \alpha, \beta \in [/mm] (0,1) $ und [mm] f\in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega}) [/mm] sowie [mm] g\in C^{0,\beta}(\overline{\Omega})
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \gamma [/mm] maximal mit [mm] f*g\in C^{0,\gamma}(\overline{\Omega})
[/mm]
b) Die Funktion [mm] f:\Omega\to\IR [/mm] erfülle [mm] sup_{x\not= y}|\frac{f(x)-f(y)}{(x-y)^{\alpha}}|<\infty [/mm] für ein [mm] \alpha>1
[/mm]
Zeigen Sie, dass f konstant ist.
c) Seien $ a, [mm] b\in \IR [/mm] $ und $ I=[a,b] $
Beweisen Sie für $ [mm] \alpha\in(0,1) [/mm] $ folgende Inklusionen und weisen sie nach, dass sie strikt sind.
[mm] C^{1}(I)\subset C^{0,1}(I)\subset C^{0,\alpha}(I)\subset C^{0}(I)
[/mm]
d) Zeigen Sie, dass [mm] \bigcup_{\alpha\in(0,1)}C^{0,\alpha}(I)\not= C^{0}(I)
[/mm]
Gilt [mm] \bigcap_{\alpha\in(0,1)}C^{0,\alpha}(I)\overset{?}{=}C^{0,1}(I) [/mm] |
Hallo!
Also irgendwie find ich diese Aufgabe doch etwas hässlich...
Wie auch immer...zu a) Vermutung [mm] \gamma=\alpha*\beta
[/mm]
Doch warum? Keine Ahnung, da muss man wohl irgendwie mit dieser unschönen Norm argumentieren...
b) kann doch eigentlich garnicht so schwer sein, nur seh ich grad nicht, wie man zeigen kann, dass das konstant ist
c) Also die Inklusionen scheinen mir irgednwie logisch, nur das formal zu beweisen...
[mm] sup_{x\not= y}|\frac{f(x)-f(y)}{(x-y)^{\1}}|\le sup_{x\not= y}|\frac{f(x)-f(y)}{(x-y)^{\alpha}}| [/mm] ?
Bei der Striktheit muss man sich wohl irgendwelche Beispiele ausdenken... Genauso wie bei d) Wenn man bloß so kreativ wäre.
Und ob die zweite Aussage bei d) gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 06.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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