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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Do 15.06.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x) = [mm] \bruch{(1+x)}{\wurzel{1-x}} [/mm] , x<1
Berechnen Sie die 100. Ableitung! |
Ich habe zunächst den Bruch in ein Produkt zerlegt, und dann die Leibnizsche Formel angewendet, damit habe ich erhalten:
[mm] f^{(100)} [/mm] = [mm] \vektor{100 \\ 0} [/mm] (1+x) [mm] (1-x)^{-\bruch{1}{2}}^{(100)} [/mm] + [mm] \vektor{100 \\ 1} (1-x)^{-\bruch{1}{2}}^{(99)}
[/mm]
Soweit, so gut.
Aber wie kann ich die 99./100. Ableitung von diesem wurzelterm bestimmen?
Ich habe folgenden ansatz durch betrachten der ersten vier ableitungen von [mm] (1-x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] erhalten:
[mm] (1-x)^{-\bruch{1}{2}}^{(n)} [/mm] = [mm] \bruch{1\*3\*5\*7....(2n-1)}{2^{n}} (1-x)^{-\bruch{2n+1}{2}}
[/mm]
Aber wie kann ich dieses 1*3*5*7...(2n-1) so darstellen, dass man den Term für n=99 und n=100 ausrechnen kann?
Stimmt mein Ansatz soweit, oder habe ich eine einfachere MEthode übersehen?
Vielen Dank!
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"einfach so" wird man die Fakultät für ungrade Zahlen wohl nicht berechnen können. Aber wir haben als Ausdruck dafür immer !! benutzt. Also: 7!!=1*3*5*7 und 8!!=2*4*6*8.
Ich weiß aber nicht, ob das ein allgemeiner Ausdruck ist.
Ansonsten: Hast du mal die ersten Ableitungen gebildet? Ich bekomme
[mm] $f'=+\bruch{1}{2}\bruch{x-3}{(x-1)\wurzel{1-x}}$
[/mm]
[mm] $f''=-\bruch{1}{4}\bruch{x-7}{(x-1)^2\wurzel{1-x}}$
[/mm]
[mm] $f'''=+\bruch{3}{8}\bruch{x-11}{(x-1)^3\wurzel{1-x}}$
[/mm]
[mm] $f''''=-\bruch{15}{16}\bruch{x-15}{(x-1)^4\wurzel{1-x}}$
[/mm]
Mir scheint dahinter ein System zu stecken. Beim rechten Bruch kein Problem, beim linken sehe ich die Folge allerdings grade nicht. Auf jeden Fall wird wohl
[mm] $f^{(100)}=-A\bruch{x-399}{(x-1)^{100}\wurzel{1-x}}$
[/mm]
sein, wobei du das noch beweisen müßtest und auch noch das A herausbekommen müßtest.
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Hallo papillion,
Auf eine Formel für das Produkt kann man folgendermaßen kommen.
(2n)! [mm] =\produkt_{i=1}^{n}{(2*i)}* \produkt_{i=1}^{n}{(2*i-1)}
[/mm]
und [mm] \produkt_{i=1}^{n}{(2*i)} [/mm] kann man ja aufteilen:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}{(2*i)}=\produkt_{i=1}^{n}{(2)}*\produkt_{i=1}^{n}{(i)}=2^n*n!
[/mm]
Jetzt kannst Du dein Produkt nur durch Fakultäten berechnen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Ich würde es so machen:
Setze
[mm]y = \frac{2}{t} - t \ \ \text{mit} \ \ t = \sqrt{1-x}[/mm]
Wann nun [mm]y^{(n)}[/mm] die [mm]n[/mm]-te Ableitung nach [mm]x[/mm] bezeichnet, so gilt wegen [mm]\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{2 \, \sqrt{1-x}} = - \frac{1}{2t}[/mm] gemäß Kettenregel
[mm]y^{(1)} = \left( - \frac{2}{t^2} - 1 \right) \left( - \frac{1}{2t} \right) = \frac{1}{t^3} + \frac{1}{2t}[/mm]
[mm]y^{(2)} = \left( - \frac{3}{t^4} - \frac{1}{2t^2} \right) \left( - \frac{1}{2t} \right) = \frac{1 \cdot 3}{2^1 t^5} + \frac{1}{2^2 t^3}[/mm]
[mm]y^{(3)} = \left( - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^1 t^6} - \frac{1 \cdot 3}{2^2 t^4} \right) \left( - \frac{1}{2t} \right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^2 t^7} + \frac{1 \cdot 3}{2^3 t^5}[/mm]
Und jetzt sieht man, wie das weitergeht. Dabei ist fürs jeweilige Endergebnis jeweils noch [mm]t[/mm] durch [mm]t = \sqrt{1-x}[/mm] zu ersetzen.
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