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Höhenlinien und Gradient: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Mi 16.05.2012
Autor: Yuber21

Aufgabe
Bestimmen Sie für die Funktion
f(x, y) = sin(x) sin(y)
die Hohenlinien für das Niveau z = 0 sowie den Gradienten der Funktion im
Punkt (1Pi, 2Pi).

Hi,
meine Frage bezüglich dieser Aufgabe ist, wie ich den Gradienten in einem bestimmten Punkt bestimme. Normalerweise habe ich immer die 1. partielle Ableitung der Funktion gebildet. Heißt es einfach, dass ich den allgemeinen Gradienten dieser Funktion bilde und im nachhinein die Punkte einfach einsetze?
Als Gradienten habe ich: [mm] \vektor{cos(x)sin(y) \\ sin(x)cos(y)}. [/mm]
Falls ich nun (Pi,2Pi) einsetze, kommt doch (0,0) raus, oder?
Eine weitere Frage ist, wie ich für diese Fkt. die Höhenlinien bestimme. Ich muss ja gucken, wann die Funktion = 0 wird. Dies geschieht ja immer, wenn die Sinus Funktion die X-Achse schneidet, also bei allen geraden Pi, aber wir schreibt man dies auf?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Höhenlinien und Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Mi 16.05.2012
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenmr]

Das mit dem Gradienten hast du genau richtig gemacht. Die fragliche Stelle ist somit Kandidat für ein lokales Extremum, da der Gradient der Nullvektor ist.

Zu den Höhenlinien. Mache dir hier folgendes klar: aus dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass der Funktionsterm dann gleich Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Wenn man also bspw. x=0 hat, was gilt dann für y, falls f(x,y)=0 ist? Die gleiche Überlegung führt man für [mm] x=k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] durch, und auch ebenfalls für y. Das Resultat sieht dann irgendwie kariert aus. :-)

Aufschreiben würde ich die Höhenlinien als Punkt-Menge, also in der Form

[mm] \{x,y: \mbox{Eigenschaften von x u. y} \} [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Höhenlinien und Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Mi 16.05.2012
Autor: Yuber21

Vielen Dank für die Antwort.
Also wäre die Antwort:
[mm] x=k*\pi [/mm] und [mm] y\not=0 [/mm] sowie [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] y=k*\pi [/mm] für  k [mm] \in \IZ [/mm] , da k nur Werte der ganzen Zahlen annehmen soll, damit sinus 0 wird.

Bezug
                        
Bezug
Höhenlinien und Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Mi 16.05.2012
Autor: notinX

Hallo,

> Vielen Dank für die Antwort.
>  Also wäre die Antwort:
>  [mm]x=k*\pi[/mm] und [mm]y\not=0[/mm] sowie [mm]x\not=0[/mm] und [mm]y=k*\pi[/mm] für  k [mm]\in \IZ[/mm]
> , da k nur Werte der ganzen Zahlen annehmen soll, damit
> sinus 0 wird.

Du hast den Fall, dass x=y=0 beide gleichzeitig 0 sind ausgeschlossen. Was passiert wenn beide =0 sind?

Gruß,

notinX

Bezug
                        
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Höhenlinien und Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Mi 16.05.2012
Autor: fred97


> Vielen Dank für die Antwort.
>  Also wäre die Antwort:
>  [mm]x=k*\pi[/mm] und [mm]y\not=0[/mm] sowie [mm]x\not=0[/mm] und [mm]y=k*\pi[/mm] für  k [mm]\in \IZ[/mm]
> , da k nur Werte der ganzen Zahlen annehmen soll, damit
> sinus 0 wird.

Das stimmt so nicht.

sin(x)*sin(y)=0  [mm] \gdw [/mm] sin(x)=0 oder sin(y)=0  [mm] \gdw [/mm]

$ (x,y) [mm] \in \{(k \pi,z): k \in \IZ, z \in \IR \} \cup \{(z,k \pi): k \in \IZ, z \in \IR \}$ [/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Höhenlinien und Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Do 17.05.2012
Autor: Yuber21

Hi, leider versteh ich den 2. Teil dieses mathematischen Ausdrucks nicht. Könntest du ihn bitte erklären?

Bezug
                                        
Bezug
Höhenlinien und Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Do 17.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Hi, leider versteh ich den 2. Teil dieses mathematischen
> Ausdrucks nicht. Könntest du ihn bitte erklären?

FRED hat einfach das getan, was ich dir schon geraten hatte: die Höhenlinien als Punktmenge auzuschreiben. Er hat diese enge dargestellt als Vereinigung derjenigen Geraden, die parallel zur y-Achse sind und denen, die parallel zur x-Achse sind. Da die betraffenden Geraden immer dort liegen, wo einer der beiden Faktoren gleich Null ist, erfasst man sie gerade, indem man alle ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] für die eine Koordinate und alle reellen zahlen für die andere Koordinate vorgibt. Was genau ist dir daran unklar?


Gruß, Diophant


Bezug
                                                
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Höhenlinien und Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Do 17.05.2012
Autor: Yuber21

Ich frage mich nur, da wir dies so noch nie aufgeschrieben haben, sondern nur in der Form, wie ich es gemacht habe. Darf ich dies denn dann auch so stehen lassen, wie ich es geschrieben habe?

Bezug
                                                        
Bezug
Höhenlinien und Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Do 17.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich frage mich nur, da wir dies so noch nie aufgeschrieben
> haben, sondern nur in der Form, wie ich es gemacht habe.
> Darf ich dies denn dann auch so stehen lassen, wie ich es
> geschrieben habe?

da zählt nicht die Form, sondern der Inhalt. Und der stimmt eben in deiner Version nicht. Du musst halt irgendwie alle Geraden angeben, die parallel zur x- oder zur y-Achse sind und zu der betreffenden Achse einen Abstand haben, der ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] \pi [/mm] ist.

Abgesehen davon ist die Frage, wie du etwas aufschreiben sollst, hier am völlig falschen Ort gestellt. Rein mathematisch gesehen muss man es einfach so aufschreiben, dass man es zweifelsfrei verstehen kann. Was darüberhinaus von dir an Schreibweisen erwartet wird, musst du deinen Dozent/Lehrer/Übungsleiter etc. fragen. :-)


Gruß, Diophant


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