Hochpunkt/Tiefpunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mi 25.11.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
eine simple Frage:
Was Hoch- und was Tiefpunkt ist, bestimme ich ja durch Einsetzen von x in die zweite Ableitung der Polynomfunktion. Ist das Ergebnis < 0 liegt ein lokales Maximum, also der Hochpunkt vor, wenn das Ergebnis > 0 ist, ein lokales Minimum, also der Tiefpunkt.
Was aber ist wenn das Ergebnis = 0 ist? Habe ich dann einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt? Laut Graph ist es ein Tiefpunkt, aber den Graphen habe ich ja i.d.R. erst wenn ich alles ausgerechnet habe. Wie definiere ich also zunächst den gesuchten Extremwert. Bezieht sich in diesem Fall auf einen Polynomfunktion zweiten Grades. [mm] y=\bruch{1}{4}x^2+\bruch{1}{2}x-\bruch{15}{4}
[/mm]
Beste Grüße...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
1. 2 Beispiele:
$f(x) = [mm] x^4$. [/mm] hier ist $f'(0) =0$ und $f''(0) =0$
f hat in x= 0 ein Minimum
$g(x) = [mm] x^5$. [/mm] hier ist $f'(0) =0$ und $f''(0) =0$
g hat in x= 0 kein Extremum.
2. Ein Satz der in der Schule i.a. nicht behandelt wird:
Sei I ein offenes Intervall, n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 , f: I [mm] \to \IR [/mm] sei auf I n-mal differenzierbar und es sei [mm] x_0 \in [/mm] I. Weiter gelte:
[mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] f''(x_0) [/mm] = ... = [mm] f^{(n-1)}(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f^{(n)}(x_0) \not= [/mm] 0$. Dann gilt:
(1) ist n gerade und [mm] $f^{(n)}(x_0) [/mm] > 0$, so hat f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum.
(2) ist n gerade und [mm] $f^{(n)}(x_0) [/mm] < 0$, so hat f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum.
(3) ist n ungerade , so hat f in [mm] x_0 [/mm] kein lokales Extremum.
FRED
FRED
P.S. ist f ein Polynom 2.Grades, so besitzt f' genau eine Nullstelle. In diesem Fall kannst Du sicher sein , dass f an dieser Stelle einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt
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Hallo drahmas,
> Hallo,
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> eine simple Frage:
> Was Hoch- und was Tiefpunkt ist, bestimme ich ja durch
> Einsetzen von x in die zweite Ableitung der
> Polynomfunktion. Ist das Ergebnis < 0 liegt ein lokales
> Maximum, also der Hochpunkt vor, wenn das Ergebnis > 0 ist,
> ein lokales Minimum, also der Tiefpunkt.
> Was aber ist wenn das Ergebnis = 0 ist? Habe ich dann
> einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt? Laut Graph ist es ein
> Tiefpunkt, aber den Graphen habe ich ja i.d.R. erst wenn
> ich alles ausgerechnet habe. Wie definiere ich also
> zunächst den gesuchten Extremwert. Bezieht sich in diesem
> Fall auf einen Polynomfunktion zweiten Grades.
> [mm]y=\bruch{1}{4}x^2+\bruch{1}{2}x-\bruch{15}{4}[/mm]
>
> Beste Grüße...
Um diesem Dilemma mit Schulmitteln zu begegnen, gibt es das  Vorzeichenwechselkriterium, das nur mit der 1. Ableitung arbeitet.
Gruß informix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 26.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Gilt bei einer Funktion
[mm] f'(x_{s})=0 [/mm] UND [mm] f''(x_{s})=0 [/mm] ist [mm] x_{s} [/mm] ein Kandidat für eine Sattelstelle
Das hinreichende Kriterium dafür wäre jetzt [mm] f'''(x_{s})\ne0 [/mm] .
Marius
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