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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Fiona16 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar f mit f (x) = x⁴ -ax ² .
a) Zeigen Sie,dass der Graph von f für a < 0 keinen Hochpunkt hat. |
Ich habe folgenden Versuch gestartet :
f(x) = x⁴ +ax²
f'(x) = 4x³-2ax
4x³-2ax = 0
x(4x²-2a) = 0
x=0 v 4x²-2a = 0
x² - 0,5 a = 0
x² = 0,5a
x=Wurzel aus 0,5 a v x = -Wurzel aus 0,5 a .
Ist das bis dahin richtig ?
Danke im Vorraus :)
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Hallo,
mache dir nochmal das Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte klar. Deine Rechnung geht nämlich etwas am Problem vorbei, da du die Tiefpunkte betrachtest. Wenn du dein Ergebnis mal interpretierst, was folgt dann für diese Tiefpunkte in Abhängigkeit von a?
Jetzt kann man natürlich sofort über Monotoniebereiche o.ä. die Lösung auf die eigentliche Frage finden, aber der üblichen Weg wäre wohl, den bisher nicht betrachteten Extrempunkt näher unter die Lupe zu nehmen, auch mit Hilfe der 2. Ableitung...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Fiona16 |
Danke .
Ich versuch es dann mal mit der 2. Ableitung :
f''(x) = 12x² -2
f''(Wurzel aus 0,5a) = 6,48 > 0 -> Tiefpunkt
f''(-Wurzel aus 0,5a) = -10,48 -> Hochpunkt
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Hallo,
> Danke .
> Ich versuch es dann mal mit der 2. Ableitung :
>
> f''(x) = 12x² -2
Nein. Du hattest doch: [mm] $f'(x)=4x^3-2ax$. [/mm] Wenn du das nach x ableitest, fällt zwar das x im zweiten Summanden weg, aber das a als konstanter Vorfaktor bleibt erhalten.
>
> f''(Wurzel aus 0,5a) = 6,48 > 0 -> Tiefpunkt
>
> f''(-Wurzel aus 0,5a) = -10,48 -> Hochpunkt
>
Auch hier frage ich mich, wo du das a gelassen hast. Du kannst alles nur in Abhängigkeit von a angeben und musst danach eine Fallunterscheidung machen, je nachdem ob a jetzt positiv oder negativ sein soll (oder gleich null).
Außerdem solltest du noch untersuchen, ob ein Extremum bei x=0 vorliegt und wenn ja, welches (wieder in Abhängigkeit von a)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Fiona16 |
Danke und ich versuch es dann einfach nochmal :
f''(x) = 12x²-2a
f''(Wurzel aus 0,5a) = 4,58 a-> Tiefpunkt
f''(-Wurzel aus 0,5a) = -4,58 ->Hochpunkt
f''(0) = 0 -> (Dann müsste es ja hier keinen Extrempunkt geben !? )
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Hallo, die 2. Ableitung lautet
[mm] f''(x)=12x^{2}-2a
[/mm]
du hast drei Extremstellen: [mm] x_1=0; x_2=\wurzel{0,5a}; x_3=-\wurzel{0,5a}
[/mm]
zu berechnen
[mm] f''(0)=12*0^{2}-2a=-2a
[/mm]
[mm] f''(\wurzel{0,5a})=12*(\wurzel{0,5a})^{2}-2a=12*0,5*a-2a=6a-2a=4a
[/mm]
[mm] f''(-\wurzel{0,5a})=12*(-\wurzel{0,5a})^{2}-2a=12*0,5*a-2a=6a-2a=4a
[/mm]
jetzt überlege dir, was passiert, wenn a<0 ist
Steffi
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