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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung
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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Do 13.11.2003
Autor: Ute

Ermittle das Extremum der folgenden quadratischen Funktionen und gib dabei an, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt! Dir bleibt es dabei offen, ob du mit der quadratischen Ergänzung oder der Symmetrie (pg-Formel) arbeitest!

f (x) = -3x² - 12x + 180


Wenn ich mit der pq-Formel rechne,bekomme ich folgendes raus:

f (x) = -3x² - 12x + 180 |: (-3)
       = x² - 4x + 60
x1,2 = 2 +- [mm] \wurzel{4-60} [/mm]

keine Lösung, weil man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
Wie geht es dann? Mit der quadratischen Ergänzung? Und woran erkenne ich, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist? Ist es ein Tiefpunkt, wenn y<0 und Hochpunkt wenn y>0 ?? Was ist das Extremum??


        
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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Do 13.11.2003
Autor: Eva

Hallo Ute!

Ich habe mir gerade Deine Aufgabe angesehen und schau' mal, Dir ist da ein kleiner Flüchtigkeitsfehler beim dividieren durch -3 passiert.
f(x)=-3x²-12x+180    /-(3)
f(x)=x²+4x-60

Alles klar?
Probiere es doch jetzt noch mal zu rechnen, ich schau mir derweil mal noch Deine anderen Fragen an.

Viele Grüße
Eva

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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:49 Do 13.11.2003
Autor: Ute

das ändert trotzdem nichts daran, dass keine Lösung rauskommt.
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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Do 13.11.2003
Autor: Youri

Hallo Ute,

entschuldige, wenn ich Dir da widerspreche.
Du solltest Evas Tipp folgen und es nochmal versuchen.

Ehrlich... es gibt 'ne Lösung :-)

Noch was:
Bei einer quadratischen Funktion ist das Extremum der Scheitelpunkt. Also der Punkt, an dem Du die Funktion "zusammenklappen kannst, so dass sie deckungsgleich ist" ;-).
Ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet, so handelt es sich bei Deinem Extrempunkt um einen _Hochpunkt_.
Ist der Graph der Funktion nach oben geöffnet, so handelt es sich um einen _Tiefpunkt_.

Kannst Du Dich noch an die sogenannte Scheitelpunktsform erinnern?
Schaffst Du es, Deine Funktion derart umzustellen?
Dann sollte es nicht mehr schwer sein, Deinen Extrempunkt zu ermitteln.

Viele Grüsse,
Andrea.

P.S.: Sollte ich mich unklar ausgedrückt haben, hab' bitte keine Scheu nachzufragen...


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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Do 13.11.2003
Autor: Ute

ich schaffe es nicht. Ich kann mich an nichts mehr erinnern :(
Meine Freundin hat das selbe Problem wie ich bei der pq-Formel. Außerdem muss ich die quadratische Ergänzung auch können und die kann ich auch nicht

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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Do 13.11.2003
Autor: Youri

Kopf hoch, Ute -

so schlimm ist es nicht *tröst*

Bei der p/q-Formel warst Du doch schon fast am Ziel.
Du hast Dich nur ein klitzekleines bisschen verrechnet.
Das ist völlig normal - wenn man einmal hängt, sieht man den Fehler nicht mehr.

Also, ich versuche es jetzt mal, ohne zu wissen, wie genau man das hier schreibt:

f (x) = -3x² - 12x + 180 ist die vorgegebene Funktion.

Um die Nullstellen zu bestimmen, also die Schnittpunkte der FUnktion mit der x-Achse, setzt Du die Funktion mit "0" gleich.

f (x) = -3x² - 12x + 180 = 0  

Wie Du es bereits vorgemacht hast, vereinfachst Du die Gleichung, um die p/q-Formel überhaupt anwenden zu können, indem Du durch (-3) dividierst.

x² + 4x - 60 = 0

Jetzt wendest Du die p/q-Formel an:

x1/2 = -2 +/- [mm] \wurzel{4 - (-60)} [/mm]

x1/2 = -2 +/- [mm] \wurzel{64} [/mm]

x1/2 = -2 +/- 8

x1 = -10          x2 = 6

Also schneidet der Graph an den Stellen -10 und 6 die x-Achse.
Kannst Du Dir das vorstellen, wie der Graph aussieht?
Sonst mache Dir eine Skizze...

Was glaubst DU nun...
irgendwo dazwischen muss Dein gesuchter Extrempunkt liegen -
nur wo?

Gib mal einen Tip ab -
ich bin online!

Nur Mut und viele Grüsse,
Andrea.


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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Do 13.11.2003
Autor: Ute

okay, der scheitelpunkt ist schon mal bei -2 auf der x-Achse. MEhr weiß ich aber jetzt auch net.
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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Do 13.11.2003
Autor: Youri

Na, Ute -

das ist doch schonmal was...

Der Scheitelpunkt liegt also über x = -2

Wenn Du jetzt x = -2 in die Ausgangsfunktion einsetzt hast Du Deinen gesuchten Punkt.

Looos - machet.
Und sach mir Bescheid.

Und dann interpretiere das ERgebnis...
Hoch- oder Tiefpunkt.

Viele Grüsse,
Andrea.


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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 So 16.11.2003
Autor: Ute

Okay, ich hab jetzt das Ergebnis raus. Und zwar ist der Scheitelpunkt (-2/192)

von dort kann ich auf folgendes schließen:

f(x)= -3 (x+2)² + 192

Ich kann mich noch daran erinnern, dass das Vorzeichen vom x-Wert umgedreht wird, deshalb +2. Aber was besagt mir die ganze Funktionsgleichung?? Könnte ich von der Funktionsgleichung die ganze Parabel zeichnen?? Was sagen mir die 192?

Bezug
                                                                        
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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 So 16.11.2003
Autor: Stefan

Liebe Ute,

> Okay, ich hab jetzt das Ergebnis raus. Und zwar ist der
> Scheitelpunkt (-2/192)

Sehr gut! :-)

> von dort kann ich auf folgendes schließen:
>
> f(x)= -3 (x+2)² + 192

Richtig!

> Ich kann mich noch daran erinnern, dass das Vorzeichen vom
> x-Wert umgedreht wird, deshalb +2.

Okay, ich weiß, was du meinst. Ja, kann man so sagen.

> Aber was besagt mir die
> ganze Funktionsgleichung??

Dies ist die Scheitelpunktform. Sie besagt dir: Es liegt eine Parabel mit Scheitelpunkt S(-2/192) vor. Man kann aber noch mehr sagen: Der Faktor vor dem quadratischen Term ist ja -3. Das Minuszeichen bedeutet: Die Parabel ist nach unten geöffnet (woraus man anschaulich schließen kann, dass der Scheitelpunkt S(-2/192) ein Hochpunkt ist). Die "3" bedeutet, dass die Parabel um den Faktor 3 gestreckt ist, also "dreimal so schmal" verläuft wie die Normalparabel.

Allgemein bedeutet ein Faktor a

in der Darstellung

[mm]f(x) = a\cdot (x-b)^2 + c[/mm]

im Falle [mm] |a| > 1[/mm] eine Streckung und im Falle [mm]|a| < 1[/mm] eine Stauchung. Ist a>0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Im Falle a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet.

> Könnte ich mit Hilfe der
> Funktionsgleichung die ganze Parabel zeichnen??

Das wird aufgrund der hohen Zahlen etwas schwierig. Prinzipiell schon. Du musst halt zuerst den Scheitelpunkt eintragen: S(-2/192).

Nun gehst du vom Scheitelpunkt aus 1 nach rechts und [mm]3\cdot 1^2=3[/mm] nach unten und zeichnest den nächsten Punkt ein.
Dann gehst du 1 nach links und [mm]3\cdot 1^2=3[/mm] nach unten und zeichnest den nächsten Punkt ein.
Nun gehst du vom Scheitelpunkt aus 2 nach rechts und [mm]3\cdot 2^2=12[/mm] nach unten und zeichnest den nächsten Punkt ein.
Dann gehst du 2 nach links und [mm]3\cdot 2^2=12[/mm] nach unten und zeichnest den nächsten Punkt ein.

Und so weiter.

Alternativ kannst du natürlich auch eine Wertetabelle anlegen. Setze alle möglichen (sinnvollen) x-Werte in die Funktionsgleichung [mm]f(x)=-3\cdot(x-2)^2 + 192[/mm] ein, rechne die y=f(x)-Werte aus und trage dann die Punkte (x,y) ein. Verbinde anschließend die Punkte so, dass das Ganze wie eine Parabel aussieht.

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                                                        
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Hoch- oder Tiefpunkt, quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 So 16.11.2003
Autor: Youri

Ute schrieb:

> Okay, ich hab jetzt das Ergebnis raus. Und zwar ist der
> Scheitelpunkt (-2/192)

Ja, sehr gut!

Stefan hat Dir ja bereits eine ausführliche Antwort gegeben.
Wenn Du eine Wertetabelle zu dieser Funktion erstellen willst, bedenke, dass Du Dir einen Teil der Arbeit schon gemacht hast, als Du die beiden Nullstellen der Funktion bestimmt hast.
Damit hast Du bereits zwei Punkte "erarbeitet", die Du in jedem Falle nutzen kannst.
Ebenfalls recht leicht zu ermitteln ist der Funktionswert für x = 0.
Nur in diesem Fall ist das wegen der großen Zahlen alles recht schlecht auf ein Blatt zu bannen - ist aber übertragbar auf andere Funktionen :-)

Viele Grüsse,
Andrea.


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