Histogramm als ML-Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Fr 11.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dabei sei f eine Treppenfunktion über die vorgegebenen Intervalle [mm] $B_j=[(j-1)h,jh), [/mm] j=1,...,L$, d.h.
[mm] $f(x)=\sum_{j=1}^{L}f_j\chi_{[(j-1)h,jh)}(x), f_j\geq [/mm] 0$
Zeigen Sie:
Der Maximum Likelihood Schätzer von f ist gegeben durch das auf dieser Intervalleinteilung basierende Histogramm [mm] $\hat^{f}_{h}=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\in\mathbb Z}\chi_{B_j}(X_i)\chi_{B_j}(x)$. [/mm] |
Hallo, ich komme mit der Aufgabe nicht so gut zurecht.
Ich soll also den ML-Schätzer von f bestimmen und dieser soll dann mit [mm] $\hat{f}_{h}$ [/mm] übereinstimmen.
Ich muss doch jetzt erstmal die Likelihood aufstellen, nur: wie?
Ich kenne das nur aus der Parametrik so, daß die Likelihood identisch mit der Dichte ist, nur, daß man sie als Funktion des gesuchten Parameters auffasst, gegeben die Beobachtungen.
Nur: Was ist denn hier der gesuchte Parameter, sprich: Was ist denn hier die Likelihood?
Also irgendwie komme ich grad nicht so zurecht.
[mm] \textbf{Edit: Eine eigene Idee...korrekt?}
[/mm]
Das Einzige, das mir dazu einfiele, wäre, daß die Likelihood gegeben ist durch
[mm] $\prod_{i=1}^{n}\left(\sum_{1\leq j\leq L}f_{j}\chi_{[(j-1)h,jh)}(x_i)\right)$
[/mm]
Aber vllt. ist das auch totaler Mumpitz...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Fr 11.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielleicht hats auch irgendwie etwas mit der empirischen Verteilungsfunktion zu tun? Bin echt ratlos, wie man hier anfängt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 12.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
hallo mikexx,
du hast da einen denkfehler
die ml-methode sollst du hier für die parameter [mm] $f_1,\hdots,f_{L}$ [/mm] anwenden!
also die likelihood die du hast stimmt zwar aber wie gesagt jetzt musst du dir überlegen, wie du das möglichst vereinfachen kannst.
noch ein tipp:
als nebenbedingung hast du noch
[mm] $h\sum_{j=1}^{L}f_j=1$
[/mm]
stichwort: lagrange-methode !
beste grüße
dennis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 12.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Hallo, dennis2!
Danke für Deine Antwort.
Kannst Du das evtl. noch ein bisschen ausführen, denn ich verstehe noch nicht ganz, was Du meinst.
Lagrange-Methode? Was ist das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Sa 12.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi mikexx,
du hast also die likelihood
[mm] $L(f_1,\hdots,f_L~|~x_1,\hdots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{L}f_j\chi_{B_j}(x_i)$.
[/mm]
es ist [mm] $f(x_i)=f_j$, [/mm] falls [mm] $x_i\in B_j$ [/mm] und [mm] $f(x_i)=0$ [/mm] falls es kein j gibt, sodass [mm] $x_i\in B_j$.
[/mm]
das heißt du kannst für jedes der intervalle [mm] $B_1$ [/mm] bis [mm] $B_{L}$ [/mm] die anzahl der [mm] $x_i$ [/mm] zählen, die in das intervall reinfallen. du kannst diese anzahlen zum beispiel [mm] $a_1$ [/mm] bis [mm] $a_{L}$ [/mm] nennen.
es können nun zwei fälle auftreten:
1) [mm] $\sum_{j=1}^{L}a_j
das heißt mindestens ein [mm] $x_i$ [/mm] liegt nicht in $[0, Lh)$.
dann ist die likelihood natürlich 0 und diesen fall muss man dann sicherlich nicht weiter beachten, schließlich gehts um eine maximierung der likelihood
2) [mm] $\sum_{j=1}^{L}a_j=n$
[/mm]
da kannst du jetzt mal überlegen wie die likelihood aussieht (bzw. die log-likelihood die ich hier empfehlen würde).
und den ausdruck musst du dann maximieren
zusammen mit der nebenbedingung die ich dir gegeben habe hast du also ein maximierungsproblem mit nebenbedingung ----> lagrange!
falls du die lagrange-methode zur lösung dieses maximierungsproblems mit nebenbedingung nicht kennst gibt es ziemlich schnell eine art kochrezept bei google zu finden wie man das schnell aufschreiben kann.
(i) zu maximierende funktion aufschreiben
(ii) nebenbedingung aufschreiben und schreiben als "...=0"
(iii) aus (i) und (ii) die lagrangefunktion bilden
(iv) partielle abbildungen bilden (hier L+1 Stück) und nullsetzen
(v) umformen und schon ist die lösung da
so jetzt etwas klarer geworden?
beste grüße
dennis
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