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| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=2}^{2n+1} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] |
Hi,
meine Frage, gehe ich hier genauso vor also ob dort stehen würde:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (Wäre ja irgendwie nicht logisch)
Aber was muss ich anders machen?
Muss ich zu [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] etwa etwas in der Form von [mm] \bruch{1}{(2(n+1)+1)*((2(n+1)+1)+1)} [/mm] addieren?
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Hallo carlosfritz,
> [mm]\summe_{i=2}^{2n+1} \bruch{1}{i(i+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm]
So, wie die Aussage dasteht, ist sie sicher falsch, denn schon für $n=1$ steht da [mm] $\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$
[/mm]
Du hast eine wichtige Klammer unterschlagen:
Korrekt lautet die Aussage [mm] $\sum\limits_{i=2}^{2n+1}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{2\red{(}n+1\red{)}}$
[/mm]
> Hi,
> meine Frage, gehe ich hier genauso vor also ob dort stehen
> würde:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (Wäre ja irgendwie nicht logisch)
>
> Aber was muss ich anders machen?
>
> Muss ich zu [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm] etwa etwas in der Form von
> [mm]\bruch{1}{(2(n+1)+1)*((2(n+1)+1)+1)}[/mm] addieren?
Nicht ganz, du musst im Induktionsschritt zeigen:
[mm] $\sum\limits_{i=2}^{2(n+1)+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n+1}{2\cdot{}\left[(n+1)+1\right]}$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits_{i=2}^{2n+3}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n+1}{2(n+2)}$
[/mm]
Also alle n durch n+1 ersetzen.
Für den Beweis im Induktionsschritt zerlege die Summe [mm] $\sum\limits_{i=2}^{2n+3}\text{bla}$ [/mm] in [mm] $\left(\sum\limits_{i=2}^{2n+1}\text{bla}\right)+\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}+\frac{1}{(2n+3)(2n+4)}$, [/mm] benutze die Induktionsvoraussetzung für die erste Summe, setze also die Formel für n ein und forme dann das ganze Gezuppel um, bis dort [mm] $.......=\frac{n+1}{2(n+2)}$ [/mm] steht!
LG
schachuzipus
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Okay, vielen Dank!
Habs verstanden
Aber, ich habe nochmal auf mein Übungsblatt geschaut, da steht die Klammer einfach nicht...
Aber da [mm] \bruch{1}{4} \not= \bruch{1}{3} [/mm] bin ich ja quasi fertig...
Miste, da sagt man sich einmal der Ind.-Anfang stimmt schon und dann sowas :)
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Hallo nochmal,
> Okay, vielen Dank!
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> Habs verstanden
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> Aber, ich habe nochmal auf mein Übungsblatt geschaut, da
> steht die Klammer einfach nicht...
Na, das ist sicher nur ein Tippfehler, ist ja schnell passiert.
>
> Aber da [mm]\bruch{1}{4} \not= \bruch{1}{3}[/mm] bin ich ja quasi
> fertig...
Ja, wenn du stur bist. Für Bonuspunkte mache die Induktion mit den Klammern, die geht nämlich schön auf und ist ja nicht schwer, alles nur Bruchrechnung ...
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> Miste, da sagt man sich einmal der Ind.-Anfang stimmt schon
> und dann sowas :)
Schönen Abend
schachuzipus
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