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| Aufgabe | | 1+2 Ableitung von k(r,s,t) = r/s² + t*LN * s+t / s-t |
Hallo ihr Lieben...
könnte mir bitte jemand die beiden obrigen Ableitungen mit den zu beachtenden Zwischenschritten erklären?! Ich stoß da irgendwie gerade absolut an meine Grenzen....:(
es geht hier um partielle Ableitungen (wie bereits im Betreff erwähnt) und die Ableitung sollte in dem Fall nach "s" erfolgen.....:)
Hoffe mir kann einer von euch schlauen Köpfen helfen :)
Lg Lissi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> 1+2 Ableitung von k(r,s,t) = r/s² + t*LN * s+t / s-t
> Hallo ihr Lieben...
Lautet deine Funktion so:
[mm] $k(r,s,t)=\frac{r}{s}+t\cdot L\cdot N\cdot s+\frac{t}{s}-t$
[/mm]
?
> könnte mir bitte jemand die beiden obrigen Ableitungen mit
> den zu beachtenden Zwischenschritten erklären?! Ich stoß
> da irgendwie gerade absolut an meine Grenzen....:(
Sicherlich, zeige dazu aber bitte zunächst, was du schon selbst versucht hast.
> es geht hier um partielle Ableitungen (wie bereits im
> Betreff erwähnt) und die Ableitung sollte in dem Fall nach
> "s" erfolgen.....:)
In deinem Fall, musst du die Funktion einfach nach s ableiten. Die anderen Variablen sind als konstanten zu betrachten.
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Eine Rückfrage: "Wie" ist diese Funktion zu lesen?
Also der 1. Summand ist irgendwie klar: r ist im Zähler und s² ist im Nenner, also praktisch r mal (s hoch minus 2). Also r*(s^-2)
Aber was ist mit dem 2. Summanden??? Wie ist der den zu lesen???
t mal der ln (also der e-Logarithmus) von ("s+t" als Zähler und "s-t" als Nenner) ???
Also wenn ich deine Schreibweise so richtig interpretiert habe ist die Ableitung nach s die folgende:
-2r/s³ MINUS (2t²)/(s²-t²)
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Ableitung von k(r,s,t) = r/s² + t*LN * s+t / s-t
Grundsätzlich gilt: d k(r,s,t) = [mm] \bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial r} [/mm] dr [mm] +\bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial s} [/mm] ds [mm] +\bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial t} [/mm] dt.
Das bedeutet, dass du bei z.B. [mm] \bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial s} [/mm] die Funktion k nur nach s ableitest und so tust, als wären r und t Konstanten (analog bei den anderen beiden Ableitungen).
Wenn du jetzt nach s ableiten sollst, erhältst du:
[mm] \bruch{d k(r,s,t)}{ds} [/mm] = [mm] \bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial r} \bruch{dr}{ds} +\bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial s}\bruch{ds}{ds} +\bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial t} \bruch{dt}{ds}
[/mm]
Dabei ist [mm] \bruch{ds}{ds} [/mm] =1 und kann weggelassen werden.
Wenn(!) nun r und t nicht von s abhängen, ist [mm] \bruch{dr}{ds} [/mm] = 0 und [mm] \bruch{dt}{ds} [/mm] = 0, so dass die anderen Summanden ausfallen. Dann ist
[mm] \bruch{d k(r,s,t)}{ds} [/mm] = [mm] \bruch{\partial k(r,s,t)}{\partial s}.
[/mm]
Um dir die Rechnung nicht vorwegzunehmen, leite ich mal den Ausdruck k(r,s,t) = r/s² + t*LN ( (s+t) /(s-t) ) (war das deine Funktion?) partiell nach t ab:
dk/dt [mm] =\underbrace{0}_{von.r/s^2} [/mm] + [mm] \underbrace{1*LN ( (s+t) /(s-t) )}_{Produktregel,.nur. t. abgel.} [/mm] + [mm] \underbrace{ t*\bruch{1}{ (s+t) /(s-t) }}_{Produktregel,. jetzt. LN .abgeleitet}*\underbrace{\bruch{(1*(s-t)-(s+t)*(-1)}{(s-t)^2}}_{innere. Ableitung. von. (s+t) /(s-t) } [/mm]
= LN ( (s+t) /(s-t) ) + [mm] t*\bruch{s-t}{ s+t }*\bruch{2s}{(s-t)^2} [/mm] = LN ( (s+t) /(s-t) ) + [mm] t*\bruch{2s}{ (s+t)(s-t)}
[/mm]
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