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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 10.06.2005 | | Autor: | kay |
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe, ich weiß nicht wie ich da anfangen soll. :-/
Die Zufallsvariablen [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] sind standardnormalverteilt mit der Kovarianz p. Berechnen Sie für die beiden Zufallsvariablen [mm] Y_{1} [/mm] = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] X_{1} [/mm] + [mm] \mu_{1} [/mm] und [mm] Y_{2} [/mm] = [mm] o_{2} [/mm] * [mm] X_{2} [/mm] + [mm] \mu_{2}
[/mm]
a) die Erwartungswerte und Varianzen
b) Kovarianz und Korrelation
c) die Kovarianzmatrix.
Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Fr 10.06.2005 | | Autor: | kay |
Mein Ansatz ist:
[mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] sind ja normalverteilt, also: [mm] X_{i} [/mm] ~ [mm] N(\mu, [/mm] o²), dies würde ja bedeuten, dass die Erwartungswerte der beiden Variablen [mm] \mu [/mm] sind.
Ich weiß aber nur nicht, wie ich jetzt damit weiterrechnen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo kay!
Es gelten die folgenden Rechenregeln:
$E[aX+b] = aE[X]+b$,
$Var[aX+b]=a^2Var[X]$,
$Cov(aX+b,cY+d) = acCov(X,Y)$.
Damit kannst du ja jetzt mal eine eigene Lösungsidee entwerfen, die wir dann gerne kontrollieren. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:39 Fr 10.06.2005 | | Autor: | kay |
Bisher habe ich jetzt folgendes, weiter komme ich absolut nicht. Deine letzten beiden Formeln kenne ich nicht, darf diese also nur benutzen, wenn ich auch beweise das die stimmen.
Meine bisherigen Lösungen:
Xi ~ N(0,1)
a)
[mm] EX_{i} [/mm] = 0 (das steht so im Skript das es bei Normalverteilung das [mm] \mu [/mm] ist)
[mm] EY_{i} [/mm] = [mm] E(o_{i} [/mm] * [mm] X_{i} [/mm] + [mm] \mu_{i}) [/mm] = [mm] E(o_{i} [/mm] * [mm] X_{i}) [/mm] + [mm] E(\mu_{i}) [/mm] = [mm] o_{i} [/mm] * [mm] E(X_{i}) [/mm] + [mm] E(\mu_{i}) [/mm] = [mm] o_{i} [/mm] * 0 + [mm] \mu_{i} [/mm] = [mm] \mu_{i}
[/mm]
Aber wie ich da die Varianz bestimmen soll, habe ich absolut keine Ahnung, Teil b+c erst recht nicht. :-(
Die einzige Formel die wir bisher kennen lautet: Var(X) = E(X-EX)²
Wie soll ich das denn damit berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Fr 10.06.2005 | | Autor: | kay |
Okay, nach langem hin und her habe ich jetzt das rausbekommen:
[mm] Var(Y_{i}) [/mm] = Cov [mm] (Y_{i}, Y_{i}) [/mm] = [mm] Cov(o_{i} [/mm] * [mm] X_{i} [/mm] + [mm] \mu_{i}, [/mm] ...) = [mm] o_{i} [/mm] * [mm] Cov(X_{i}, o_{i} [/mm] * [mm] X_{i} [/mm] + [mm] \mu_{i}) [/mm] + [mm] Cov(\mu_{i}, o_{i} [/mm] * Xi + [mm] \mu_{i}) [/mm] = [mm] o_{i} [/mm] * [mm] Cov(X_{i}, o_{i} [/mm] * [mm] X_{i} [/mm] + [mm] \mu_{i}) [/mm] + 0* = [mm] o_{i}² [/mm] * [mm] Cov(X_{i},X_{i}) [/mm] + [mm] o_{i} [/mm] * [mm] Cov(X_{i},\mu_{i}) [/mm] = [mm] o_{i}² [/mm] * [mm] Cov(X_{i},X_{i}) [/mm] + 0* = [mm] o_{i}² [/mm] * [mm] Var(X_{i}) [/mm] = [mm] o_{i}² [/mm] * 1** = [mm] o_{i}²
[/mm]
* wenn man die Cov komplett dafür ausrechnet, kommt 0 raus, weil nachher irgendwann drinsteht µ_{i} - µ_{i} * ... und das ist ja 0.
** [mm] Var(X_{i}), [/mm] da [mm] X_{i} [/mm] ~ N(0,1) -> [mm] Var(X_{i}) [/mm] = 1
Gut, soweit dann Teil a) mal gelöst. Hat jemand einen Tipp für Teil b) und/oder c)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Fr 10.06.2005 | | Autor: | kay |
b)
[mm] Cov(Y_{1},Y_{2}) [/mm] = [mm] Cov(o_{1} [/mm] * [mm] X_{1} [/mm] + [mm] \mu_{1}, [/mm] ...) = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] Cov(X_{1}, o_{2} [/mm] * [mm] X_{2} [/mm] + [mm] \mu_{2}) [/mm] + [mm] Cov(\mu__{1}, [/mm] ....) = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] Cov(X_{1}, o_{2} [/mm] * [mm] X_{2} [/mm] + [mm] \mu_{2}) [/mm] + 0 = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] o_{2} [/mm] * [mm] Cov(X_{1}, X_{2}) [/mm] + [mm] o_{2} [/mm] * [mm] Cov(X_{1}, \mu_{2}) [/mm] = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] o_{2} [/mm] * [mm] Cov(X_{1}, X_{2}) [/mm] + 0 = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] o_{2} [/mm] * [mm] Cov(X_{1}, X_{2}) [/mm] = [mm] o_{1} [/mm] * [mm] o_{2} [/mm] * [mm] E(X_{1} [/mm] * [mm] X_{2}) [/mm]
Weiter kann man nicht rechnen, oder?
[mm] Corr(Y_{1},Y_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{Cov(Y_{1},Y_{2})}{\wurzel{Var(Y_{1})} * \wurzel{Var(Y_{2})}} [/mm] = [mm] \bruch{o_{1} * o_{2} * Cov(X_{1}, X_{2})}{o_{1} * o_{2}} [/mm] = [mm] Cov(X_{1}, X_{2})
[/mm]
c)
Sei S = [mm] Cov(X_{1},X_{2}).
[/mm]
[mm] \pmat{ Cov(Y_{1},Y_{1}) & Cov(Y_{1},Y_{2}) \\ Cov(Y_{2},Y_{1}) & Cov(Y_{2},Y_{2}) } [/mm] = [mm] \pmat{ Var(Y_{1}) & o_{1} * o_{2} * S \\ o_{1} * o_{2} * S & Var(Y_{2}) } [/mm] = [mm] \pmat{ o_{1}² & o_{1} * o_{2} * S \\ o_{1} * o_{2} * S & o_{2}²}
[/mm]
Ist das alles so richtig? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mo 13.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo kay!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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