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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mi 26.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei [mm] E=\vec{u}+\IR\vec{v}+\IR\vec{w}.
[/mm]
[mm] \vec{u}*\vec{n} \ge [/mm] 0 oder [mm] \vec{u}*\vec{-n} \ge [/mm] 0. Wähle [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \pm \bruch{\vec{v}\times\vec{w}}{|\vec{v}\times \vec{w}|}, [/mm] dass [mm] \vec{u}*\vec{n} [/mm] = d [mm] \ge [/mm] 0, dann heißt die Beschreibung E = { [mm] \vec{x} [/mm] | [mm] \vec{x}*\vec{n}=d [/mm] } die Hesseform von E. Dabei ist d der Abstand von E zum Ursprung. |
Hallo,
gehe grad die Vorlesungsunterlagen durch und bin auf ein Verständnisproblem gestoßen. Die Hesseform ist mir leider nicht wirklich verständlich. Was ich bis jetzt weiss ist, dass die Hesseform aus Umformungen aus der Normalenform einer Ebene entstanden ist, also
E = [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{u})*\vec{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \vec{x}*\vec{n} [/mm] - [mm] \vec{u}*\vec{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \vec{x}*\vec{n} [/mm] = [mm] \vec{u}*\vec{n} [/mm] und da d:= [mm] \vec{u}*\vec{n} \Rightarrow \vec{x}*\vec{n} [/mm] = d.
Aber wieso soll d der Abstand von der Ebene zum Ursprung sein? Und wieso kann eine Ebene damit definiert werden, da doch jeder Punkt der Ebene einen anderen Abstand zum Ursprung hat?
Freue mich über Rückmeldungen 
LG und frohe Weihnachten,
DrRiese
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Hallo,
> Hallo,
> gehe grad die Vorlesungsunterlagen durch und bin auf ein
> Verständnisproblem gestoßen. Die Hesseform ist mir leider
> nicht wirklich verständlich. Was ich bis jetzt weiss ist,
> dass die Hesseform aus Umformungen aus der Normalenform
> einer Ebene entstanden ist, also
> E = [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{u})*\vec{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \vec{x}*\vec{n}[/mm]
> - [mm]\vec{u}*\vec{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \vec{x}*\vec{n}[/mm] =
> [mm]\vec{u}*\vec{n}[/mm] und da d:= [mm]\vec{u}*\vec{n} \Rightarrow \vec{x}*\vec{n}[/mm]
> = d.
Ja, aber du musst beachten, dass bei der Hesseschen Normalenform der Normalenvektor normiert ist, d.h., er hat Einheitslänge.
> Aber wieso soll d der Abstand von der Ebene zum Ursprung
> sein? Und wieso kann eine Ebene damit definiert werden, da
> doch jeder Punkt der Ebene einen anderen Abstand zum
> Ursprung hat?
>
Nun, beachte mal das mit der Einheitslänge. Der Abstand zu einem beliebigen Punkt wird ja in Richtung des Normalenvektors gemessen. Wenn man jetzt noch die Definition des Skalarprodukts
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos\phi
[/mm]
berücksichtigt, sollte der Sachverhalt klar sein.
Auch von mir schöne Weihnachten,
Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 26.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Tut mir leid, aber so richtig klar ist mir das leider immer noch nicht
LG,
DrRiese
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Hallo,
sei [mm] F_0 [/mm] der Lotfußpunkt bzgl. des Koordinatenursprungs auf der Ebene. Zeichne mal das Dreieck 0F_0X, wobei X ein belibiger Punkt auf E sei. Damit sollte es klarer werden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 27.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Ok, also ich glaube jetzt etwas verstanden zu haben:
Der Abstand einer Ebene A zu einem Punkt [mm] \vec{b} [/mm] ist ja definiert durch [mm] d(\vec{b}, [/mm] A) = inf{ [mm] \vec{x} \in [/mm] A | [mm] d(\vec{b},\vec{x}) [/mm] }, d.h. die kürzeste Distanz eines Punktes zu einer Ebene ist der definierte Abstand, also die orthogonale Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] auf A.
Bei der Hesseform:
Sei [mm] \vec{u} [/mm] der Lotfußpunkt bezgl. des Koordinatenursprungs auf die Ebene.
Somit
[mm] \vec{u} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] |\vec{u}| [/mm] * [mm] |\vec{n}| [/mm] * cos [mm] \gamma
[/mm]
Also [mm] |\vec{u}| [/mm] * 1 * cos 0° (bzw. cos 180°) = [mm] |\vec{u}| [/mm] , dies ist aber der Abstand zum Ursprung, also d.
Da alle [mm] \vec{x} [/mm] dieser Ebene gem. Definition denselben Abstand zu einem Punkt, hier zum Ursprung besitzen, kann die Ebene somit auch in dieser Form definiert werden.
Ich hoffe, dass dies jetzt richtig war
LG
DrRiese
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Hallo,
> Ok, also ich glaube jetzt etwas verstanden zu haben:
>
> Der Abstand einer Ebene A zu einem Punkt [mm]\vec{b}[/mm] ist ja
> definiert durch [mm]d(\vec{b},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A) = inf{ [mm]\vec{x} \in[/mm] A |
> [mm]d(\vec{b},\vec{x})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, d.h. die kürzeste Distanz eines
> Punktes zu einer Ebene ist der definierte Abstand, also die
> orthogonale Projektion von [mm]\vec{b}[/mm] auf A.
>
> Bei der Hesseform:
> Sei [mm]\vec{u}[/mm] der Lotfußpunkt bezgl. des
> Koordinatenursprungs auf die Ebene.
> Somit
> [mm]\vec{u}[/mm] * [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]|\vec{u}|[/mm] * [mm]|\vec{n}|[/mm] * cos [mm]\gamma[/mm]
>
> Also [mm]|\vec{u}|[/mm] * 1 * cos 0° (bzw. cos 180°) = [mm]|\vec{u}|[/mm] ,
> dies ist aber der Abstand zum Ursprung, also d.
>
> Da alle [mm]\vec{x}[/mm] dieser Ebene gem. Definition denselben
> Abstand zu einem Punkt, hier zum Ursprung besitzen, kann
> die Ebene somit auch in dieser Form definiert werden.
>
> Ich hoffe, dass dies jetzt richtig war
Nein, es ist völlig falsch: was du beschreibst, ist keine Ebene, sondern eine Kugel um den Ursprung.
Eine Normalengleichung hat je die Gestalt
[mm] (\vec{x}-\vec{p})*\vec{n}=0
[/mm]
Das hat den Hintergrund, dass jeder Vektor in der Ebene zum Normalenvektor ortthogonal oder der Nullvektor ist. Also gilt obige Gleichung für jeden Punkt X einer Ebene.
Nun ist auf der anderen Seite
[mm] cos\phi=\bruch{d}{|\vec{x}|} [/mm] <=>
[mm] d=|\vec{x}|*cos\phi
[/mm]
wobei
[mm] \phi: [/mm] Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Ortsvektor eines Punktex [mm] X\in{E}
[/mm]
d: der Abstand Ebene-Ursprung
sein sollen. Wenn du jetzt oben für [mm] cos\phi [/mm] noch die Vektoren [mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] einsetzt, bekommst du die gewünschte Aussage.
Gruß, Diophant
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