Hesse Matrix / Jacobi Matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allseits,
ich habe diese Frage nur hier auf diesem Board in diesem Thread gestellt, daher keine Verweise.
es geht um grundlegendes, und ich hoffe ich löse kein allgemeines Gelächter aus, zumal ich nurnoch wenige Tage bis zu meiner Mathematik Vordiplomsprüfung habe.
Folgendes: nach einiger Zeit bin ich nun in der Lage endlich eine HesseMatrix und eine JacobiMatrix aufzustellen zu einer gegebenen Funktion, jedoch erschließt sich für mich noch nicht der Kontext. Ich weiß (glaube zu wissen...)das
Jacobi Matritzen die beste approximation einer ersten Ableitung für einen Punkt sind.
HesseMatritzen wohl für die 2. Ableitung stehen.
Aber das wäre auch alles was ich dem Prüfer dazu sagen könnte, welcher auch nur grundlegendes wissen will. Was ich nicht weiß ist der Bezug wozu ich dies nun brauche, was ich damit anstellen kann, ahbe vieles geselen aber das meiste nicht verstanden da ich noch anderes zu lernen habe. Kann dies einer mir in leicht verständlichen Worten vielleicht zusammenfassen?
Wozu Matrix aufstellen und was dann damit machen und welche geometrische bedeutung hat das alles dann ??? Und was haben eigenwerte damit zu tun und wie berechne ich diese ???
ein einfaches beispiel war mir hierfür:
f(x,y) = x³-2xy+y²
daraus folgt dann die Jacobi Matrix:
( 3x-2y -2x+2y )
und die Hesse Matrix:
( 6x -2 )
( -2 2 )
und nun? was bringt mir das nun? wie mache ich weiter??
Danke im Voraus, und ich weiß das ich viel von Euch verlange, aber es wäre mir eine unglaubliche Hilfe wenn einer mal ein wenig von den Grundlagen drumherum reden könnte...
liebe Grüße, René. [ ggf auch per mail: mailto: renewor @ web . de ]
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Die Jacobimatrix gibt dir die partiellen Ableitungen deiner Funktion im [mm] $\IR^n$ [/mm] an, also einmal nach x und y in deinem Beispiel. Warum kann man das machen? Die partiellen Ableitungen sind im Grunde spezielle Richtungsableitungen, nämlich in Richtung der Einheitsvektoren.
Der Vorteil ist der wesentlich einfachere Umgang mit einer Matrix als mit einer ellenlangen Formel, die dir deine Ableitung beschreibt.
Im Wesentlichen bestimmt man die 1. Ableitung zum finden möglicher Extremstellen und die 2. Ableitung um die Art des Extremums zu bestimmen (oder um festzustellen, dass meine kritische Stelle gar keine Extremstelle ist).
Dazu setzt man die Jacobimatrix gleich einer Nullmatrix und bestimmt diejenigen Zahlenpaare (im Bespiel nur (x,y)), für die die Jacobimatrix die Nullmatrix ergibt und setzt diese Werte dann in die Hessematrix ein und schaut, wie die aussieht. Ja nach dem welche Eigenwerte die hat ist es ein lok. Minimum / Maximum oder halt gar nichts....
Naja das sollte fürs erste genügen, ein anderer möge mich dann ergänzen / verbessern...
Gruß Micha
PS: Viel Erfolg bei der Vordiplomsprüfung...
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also, wenn wir an diesem Beispiel weiterrechnen, dann mache ich folgendes:
Jacobi = 0-Matrix
=>
-2x+2y=0
2y=2x
x=y
und
3x-2=0
x= 2/3
=> x=y=2/3 (folgt darss evtl. kritische Stelle an P(2/3, 2/3) ?? )
in Hessematrix einsetzten:
==>
( 4 -2 )
( -2 2 )
dann berechne ich die eigenwerte dieser Matrix:
(eigenwerte = det (- lambda*E)
= det ( 4- lambda -2 )
(-2 2-lmbda)
= (4-L) * (2-L) - -2*-2
= (4-L) * (2-L) - 4 = 0
==> L²-6L +4 = 0
müsste L=8 und L= -2 sein. Und was habe ich un davon ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
Deine Jacobimatrix ist falsch, das wollte ich dir noch mitteilen:
[mm]J_f = \begin{pmatrix}
3x^2-2y & -2x+2y
\end{pmatrix}[/mm]
und Hessematrix:
[mm]H_f = \begin{pmatrix}
6x & -2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix} [/mm] (die hattest du komischerweise wieder richtig)
Jetzt setze ich Jacobimatrix = Nullmatrix:
[mm]\begin{pmatrix} 0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x^2-2y & -2x+2y\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\gdw 0 = 3x^2-2y \wedge 0= -2x+2y[/mm]
[mm]\Rightarrow x = y[/mm]
und mit [mm] 0= 3x^2-2y = 3x^2-2x[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm]x_1 = 0 [/mm]
[mm]x_2 = \frac{2}{3}[/mm]
Kritische Punkte: [mm] $P_1(0|0)$ [/mm] und $ [mm] P_2(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
[/mm]
Jetzt setzt du das in deine Hessematrix ein und stellst dann fest, ob diese positiv definit ist (dann liegt ein lokales Minimum vor) oder negativ definit (dann haben wir ein lokales Maximum) oder eben gar nichts von beiden ist.
Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind, bzw. alle Hauptabschnittsdeterminanten positiv sind.
Wie das bei negativer Definitheit mit den Eigenwerten ist, kann ich dir nicht genau sagen, weil ich Lina2 noch nicht gehört habe, aber ich weiß dass sie negativ definit ist, wenn alle Hauptabschnittsdeterminanten von [mm] $-H_f$, [/mm] also alle Werte von der hessamatrix mit umgekehrten Vorzeichen positiv sind.
Bei einer 2x2-Matrix ist die erste Hauptabschnittsdeterminante einfach das Element [mm] $a_{1,1}$ [/mm] und die 2. Hauptabschnittsdeterminante die eigentliche Deteerminante der gesamten Matrix...
Naja ich hoffe ich habe dich jetzt nicht allzu sehr verwirrt und es gibt auch noch weitere Kriterien, wie man die Definitheit bestimmen kann.
Gruß Micha
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könntest du mir noch eine Frage beantworten?
gegebene Hessematix:
(6x -2)
( -2 2)
die kritischen punkte waren:
p1 (0|0)
Eigenwerte dazu ( mit Lambda = L):
(0-L)*(2-L)-4 = -8 L +4 L²
=> E1= 0 E2= -2
p1 (2/3 | 2/3)
Eigenwerte dazu ( mit Lambda = L):
(4-L)*(2-L)-4 = L² -6L +32
=> E2= -2 E3= -4
Habe ich die Eigenwerte so Richtig ebstimmt?
Und folgt dann daraus
1.) an Punkt 1 liegt kein Minimum und an Punkt 2 auch nicht da nicht positiv definit
2.)
Ist es dann an Punkt 2 ein lokales Maximum ? da alle eigenwerte < 0'?
3.) was ist es an Punkt 1 ??
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Is klar, das hätte sich jetzt erledigt (einfacher rechenfehler, *4 statt -4 gerechnet  ) aber ich habe noch eine allgemeine Frage,
ich glaube gelesen zu haben das ich die feststellung, ob es sich um ein lokales maximum oder ein lokales Minimum handelt folgendermaßen machen kann:
- Kritische Punkte in HesseMatrix einsetzten
- bestimmen ob indefinit, positiv definit, negativ definit
positiv definitn --> lokales minimum --> a_11 der Hesse positiv und det ( Hesse) positiv
negativ definitn --> lokales maximum --> a_11 der (- Hesse ) Matrix positiv und det ( - hesse) positiv
kann mir vielleicht noch einer derart anschaulich erklären was indefinit semidefinit ist? kriterium für sttelpunkt z.Bsp
Ich danke im voraus !! und die zeit drängt, also wenn dann heute noch antworten weil morgen früh ist es soweit ansonsten bedanke ich mich nochmals, ihr habt mir bisher unglaublich weiter ggeholfen!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Di 21.09.2004 | | Autor: | kaffee |
hi
das bestimmen ob die hesse-matrix positiv definit etc ist finde ich auch immer recht mühsam. wir haben da aber noch ein anderes kriterium, welches ich viel praktischer finde:
du hast also deine potentiellen stationären punkte p, die setzt du einzeln in die hesse matrix ein (wie gehabt)
nun bestimmst du die determinante der hesse matrix im punkt p. für den 2-dimensionalen fall: [mm] f_x_x * f_y_y - (f_x_y)^2[/mm]
nun gilt:
a) detH > 0 und [mm] f_x_x > 0[/mm] => lokales Minimum
b) detH > 0 und [mm] f_x_x < 0[/mm] => lokales Maximum
c) detH < 0 kein lok. Extremum, sondern Sattelpunkt
nicht so praktisch ist, wenn detH =0 rauskommt dann musst du diesen punkt weiter untsuchen.
Grüsse, sarah
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ich wollte euch allen beteiligten nochmals Danksagen wegen eurer Hilfe. Habe meine MatheVordip Prüfung heute morgen abgelegt und mit einer 1- geschafft, nicht zuletzt wegen euren Tipps.
Danke, und beste grüße........
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Di 21.09.2004 | | Autor: | Micha |
Danke...das macht mir immerhin Mut für meine Vordiplomsprüfung in einem halben Jahr...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mi 29.09.2004 | | Autor: | MAOAM |
Hallo,
> Ist mindestens einer der beiden Eigenwerte gleich Null, so kann man
> keine Aussage machen.
kannst du das bitte erleutern, was ist wenn ein Eigenwert gleich null ist...?
zB die Funktion f= [mm] 3x^{2}-y^{3}
[/mm]
hat die Hessematrix [mm] \pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -6y } [/mm] die Eigenwerte an der Stelle [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] sind also 6 , 0. Die Stelle ist ein Sattelpunkt, was muss ich aber machen um es zu zeigen?
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In diesem Fall würde ich ein paar Punkte in der Umgebung des Ursprungs nehmen und in die Funktion einsetzen. Oder du rechnest die 3. Ableitung aus (das ist dann eine 'dreidimensionale Matrix', man spricht bei solchen mehrdimensionalen Apparaten dann von einem 'Tensor'). Die Variante mit der 3. Ableitung ist vielleicht bei einer Variablen x nach ganz nützlich, aber schon hier absoluter Unfug.
Wenn du in der Nähe der Null einen Funktionswert oberhalb und unterhalb von f(0,0) findest, dann muss dort ein Sattelpunkt sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Do 30.09.2004 | | Autor: | MAOAM |
aha! vielen Dank!
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Die sind falsch.
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