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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Fr 01.07.2005 | | Autor: | bobby |
Ich ahbe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
Es wird die Funktion [mm] j:\IR^{n} \to \IR [/mm] mit [mm] j(x)=\bruch{1}{2} [/mm] (Ax,x)-(b,x) für eine symmetrische Matrix A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] und ein Vektor b [mm] \in \IR^{n} [/mm] betrachtet.
a) Bestimme [mm] H_{j}(x) [/mm] für x [mm] \in \IR^{n}.
[/mm]
b) Geben Sie eine hinreichende Bedingung dafür an, dass die Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax=b genau die Minimalstellen von j sind.
Also, ich habe j'(x) schon mit (Ax-b,*) bestimmt, für j''(x) (also [mm] H_{j}(x)) [/mm] komm ich nicht weiter...
Und bei b fällt mir irgendwie nicht viel zu ein. Ich mein es muss natürlich j'(x)=0 sein, also Ax-b=0, aber das ist ja schon gegeben und j''(x) muss >0 sein, kann ich aber ja auch nicht zeigen, da ich die ja nicht rauskriege, oder ist j''(x)=A? Da komm ich dann allerdings bei b auch nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, es gilt: $j''(x)=A$.
Daher ist eine Lösung des LGS $Ax=b$ jedenfalls dann eine Minimalstelle von $j$, wenn $A$ positiv definit ist.
Dies ist ja das gängige Kriterium über die Hesse-Matrix, wie es zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier beschrieben ist.
Viele Grüße
Stefan
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