Hermite < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 So 05.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo leute
Ich habe eine Aufgabe.. und zwar den Satz von Hermite zu beweisen. Dabei wurde der Beweis in verschiedenen Teilaufgaben unterteilt, von denen ich aber bisher nur eine lösen konnte:
i) Zeige, [mm]d \le 1+3log(B)[/mm], wobei [mm]d=r+2s[/mm] mit [mm](r,s)[/mm] die Signatur vom Zahlkörper [mm]K[/mm] und [mm]|\triangle_{K}| \le B[/mm], [mm]B \in \mathbb{R}[/mm].
Nun habe ich die zweite Teilaufgabe versucht, aber ich scheitere an ihr:
ii) Sei [mm]s \ge 1[/mm]. Zeige, [mm]\exists a \in \mathbb{Z}_{K}\backslash\lbrace 0 \rbrace[/mm] mit [mm]\mid\sigma_{i}(a)\mid < 1[/mm] falls [mm]1 \le i \le r+s-1[/mm] und [mm]\mid Re\sigma_{r+s}(a)\mid < 1[/mm], [mm]\mid Im\sigma_{1}(a)\mid < \left(\frac{2}{\pi}\right)^{s-1}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}[/mm]
Ich habe jetzt einfach folgende Abbildung betrachtet:
[mm]\psi:\mathbb{Z}_{K} \to \mathbb{R}^{d}[/mm], [mm]a \mapsto (\sigma_{1}(a),...,\sigma_{r}(a),Re\sigma_{r+1}(a),Im\sigma_{r+1}(a),...,Im\sigma_{r+s}(a))[/mm]
Ich weiss, dass [mm]\psi(\mathbb{Z}_{K}[/mm][mm])[/mm] ein Gitter ist mit Determinante [mm]2^{-s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm].
Nun sollte ich eine lebesgue-messbare, konvexe Menge [mm]E[/mm] in [mm]\mathbb{R}^{d}[/mm] finden mit [mm]\mu(E) > det(\psi(\mathbb{Z}_{K}))[/mm] und daraus was folgern..
Wie kann ich das anstellen? Wäre super, könnte jemand helfen..!
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 So 05.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Ich habe eine Aufgabe.. und zwar den Satz von Hermite zu
> beweisen. Dabei wurde der Beweis in verschiedenen
> Teilaufgaben unterteilt, von denen ich aber bisher nur eine
> lösen konnte:
>
> i) Zeige, [mm]d \le 1+3log(B)[/mm], wobei [mm]d=r+2s[/mm] mit [mm](r,s)[/mm] die
> Signatur vom Zahlkörper [mm]K[/mm] und [mm]|\triangle_{K}| \le B[/mm], [mm]B \in \mathbb{R}[/mm].
Hier ist $B$ einfach irgendeine reelle Zahl mit [mm] $|\Delta_K| \le [/mm] B$?
> Nun habe ich die zweite Teilaufgabe versucht, aber ich
> scheitere an ihr:
>
> ii) Sei [mm]s \ge 1[/mm]. Zeige, [mm]\exists a \in \mathbb{Z}_{K}\backslash\lbrace 0 \rbrace[/mm]
> mit [mm]\mid\sigma_{i}(a)\mid < 1[/mm] falls [mm]1 \le i \le r+s-1[/mm] und
> [mm]\mid Re\sigma_{r+s}(a)\mid < 1[/mm], [mm]\mid Im\sigma_{1}(a)\mid < \left(\frac{2}{\pi}\right)^{s-1}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}[/mm]
>
> Ich habe jetzt einfach folgende Abbildung betrachtet:
> [mm]\psi:\mathbb{Z}_{K} \to \mathbb{R}^{d}[/mm], [mm]a \mapsto (\sigma_{1}(a),...,\sigma_{r}(a),Re\sigma_{r+1}(a),Im\sigma_{r+1}(a),...,Im\sigma_{r+s}(a))[/mm]
>
> Ich weiss, dass [mm]\psi(\mathbb{Z}_{K}[/mm][mm])[/mm] ein Gitter ist mit
> Determinante [mm]2^{-s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun sollte ich eine lebesgue-messbare, konvexe Menge [mm]E[/mm] in
> [mm]\mathbb{R}^{d}[/mm] finden mit [mm]\mu(E) > det(\psi(\mathbb{Z}_{K}))[/mm]
> und daraus was folgern..
Genauer gesagt: [mm] $\mu(E) [/mm] > [mm] 2^d \det(\psi(\IZ_K))$!
[/mm]
> Wie kann ich das anstellen? Wäre super, könnte jemand
> helfen..!
Also: das "folgern" bezieht sich auf den ![[]](/images/popup.gif) Minkowskischen Gitterpunktsatz. Wenn [mm] $\mu(E)$ [/mm] gross genug ist, enthaelt es einen nicht-trivialen Punkt -- welcher genau deinem $a$ entsprechen soll.
Also. Die Abbildung [mm] $\psi$ [/mm] ist ja injektiv. Jetzt hast du ein paar Bedingungen, die $a$ erfuellen soll. Definiere die Menge $E$ so, dass [mm] $\psi(a) \in [/mm] E$ liegt, wenn $a$ die Bedingungen erfuellt.
Etwa: $E = [mm] \{ (a_1, \dots, a_d) \in \IR^d \mid |a_1| < 1, \dots, |a_r| < 1, a_{r+1}^2 + a_{r+2}^2 < 1, \dots, a_{r+2s-3}^2 + a_{r+2s-2}^2 < 1, |a_{r+2s-1}| < 1, |a_{r+2s}| < (2/\pi)^{s-1} |\Delta_K|^{1/2} \}$.
[/mm]
Warum ist $E$ Lebesgue-messbar? (Das ist einfach.)
Was ist das Volumen von $E$?
Was ist [mm] $2^d \det(\psi(\IZ_K))$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
> Moin Amaro!
>
> > Ich habe eine Aufgabe.. und zwar den Satz von Hermite zu
> > beweisen. Dabei wurde der Beweis in verschiedenen
> > Teilaufgaben unterteilt, von denen ich aber bisher nur eine
> > lösen konnte:
> >
> > i) Zeige, [mm]d \le 1+3log(B)[/mm], wobei [mm]d=r+2s[/mm] mit [mm](r,s)[/mm] die
> > Signatur vom Zahlkörper [mm]K[/mm] und [mm]|\triangle_{K}| \le B[/mm], [mm]B \in \mathbb{R}[/mm].
>
> Hier ist [mm]B[/mm] einfach irgendeine reelle Zahl mit [mm]|\Delta_K| \le B[/mm]?
Ja, genau.
>
> > Nun habe ich die zweite Teilaufgabe versucht, aber ich
> > scheitere an ihr:
> >
> > ii) Sei [mm]s \ge 1[/mm]. Zeige, [mm]\exists a \in \mathbb{Z}_{K}\backslash\lbrace 0 \rbrace[/mm]
> > mit [mm]\mid\sigma_{i}(a)\mid < 1[/mm] falls [mm]1 \le i \le r+s-1[/mm] und
> > [mm]\mid Re\sigma_{r+s}(a)\mid < 1[/mm], [mm]\mid Im\sigma_{1}(a)\mid < \left(\frac{2}{\pi}\right)^{s-1}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Ich habe jetzt einfach folgende Abbildung betrachtet:
> > [mm]\psi:\mathbb{Z}_{K} \to \mathbb{R}^{d}[/mm], [mm]a \mapsto (\sigma_{1}(a),...,\sigma_{r}(a),Re\sigma_{r+1}(a),Im\sigma_{r+1}(a),...,Im\sigma_{r+s}(a))[/mm]
>
> >
> > Ich weiss, dass [mm]\psi(\mathbb{Z}_{K}[/mm][mm])[/mm] ein Gitter ist mit
> > Determinante [mm]2^{-s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm].
>
>
>
> > Nun sollte ich eine lebesgue-messbare, konvexe Menge [mm]E[/mm] in
> > [mm]\mathbb{R}^{d}[/mm] finden mit [mm]\mu(E) > det(\psi(\mathbb{Z}_{K}))[/mm]
> > und daraus was folgern..
>
> Genauer gesagt: [mm]\mu(E) > 2^d \det(\psi(\IZ_K))[/mm]!
Ja, genau.. den Faktor vergessen :)
>
> > Wie kann ich das anstellen? Wäre super, könnte jemand
> > helfen..!
>
> Also: das "folgern" bezieht sich auf den
> Minkowskischen Gitterpunktsatz.
> Wenn [mm]\mu(E)[/mm] gross genug ist, enthaelt es einen
> nicht-trivialen Punkt -- welcher genau deinem [mm]a[/mm] entsprechen
> soll.
>
> Also. Die Abbildung [mm]\psi[/mm] ist ja injektiv. Jetzt hast du ein
> paar Bedingungen, die [mm]a[/mm] erfuellen soll. Definiere die Menge
> [mm]E[/mm] so, dass [mm]\psi(a) \in E[/mm] liegt, wenn [mm]a[/mm] die Bedingungen
> erfuellt.
>
> Etwa: [mm]E = \{ (a_1, \dots, a_d) \in \IR^d \mid |a_1| < 1, \dots, |a_r| < 1, a_{r+1}^2 + a_{r+2}^2 < 1, \dots, a_{r+2s-3}^2 + a_{r+2s-2}^2 < 1, |a_{r+2s-1}| < 1, |a_{r+2s}| < (2/\pi)^{s-1} |\Delta_K|^{1/2} \}[/mm].
>
> Warum ist [mm]E[/mm] Lebesgue-messbar? (Das ist einfach.)
Na, [mm]E \subset \mathbb{R}^{d}[/mm] offene Menge..
>
> Was ist das Volumen von [mm]E[/mm]?
Da hab ich [mm]\mu(E) = 2^{r+1}\cdot\pi^{s-1}\cdot\left(\frac{2}{\pi}\right)^{s-1}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} = 2^{r+1}2^{s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm]
Kann das stimmen?
>
> Was ist [mm]2^d \det(\psi(\IZ_K))[/mm]?
>
Das ist [mm]2^{d}2^{-s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm]
Somit gilt [mm]\mu(E) > 2^{d}det(\psi(\mathbb{Z}_{K}))[/mm] und es gibt ein solches [mm]a \in \mathbb{Z}_{K}\backslash\lbrace 0 \rbrace[/mm] wie verlangt.
(Falls ich das zeugs richtig ausgerechnet habe...)
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> > Etwa: [mm]E = \{ (a_1, \dots, a_d) \in \IR^d \mid |a_1| < 1, \dots, |a_r| < 1, a_{r+1}^2 + a_{r+2}^2 < 1, \dots, a_{r+2s-3}^2 + a_{r+2s-2}^2 < 1, |a_{r+2s-1}| < 1, |a_{r+2s}| < (2/\pi)^{s-1} |\Delta_K|^{1/2} \}[/mm].
>
> >
> > Warum ist [mm]E[/mm] Lebesgue-messbar? (Das ist einfach.)
>
> Na, [mm]E \subset \mathbb{R}^{d}[/mm] offene Menge..
Exakt 
> > Was ist das Volumen von [mm]E[/mm]?
>
> Da hab ich [mm]\mu(E) = 2^{r+1}\cdot\pi^{s-1}\cdot\left(\frac{2}{\pi}\right)^{s-1}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} = 2^{r+1}2^{s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
Vorsicht, aus [mm] $(2/\pi)^{s-1}$ [/mm] hast du [mm] $2^s \pi^{1-s}$ [/mm] gemacht. Es muesste [mm] $2^{r+s} |\Delta_K|^{1/2}$ [/mm] uebrigbleiben.
Dafuer hast du noch einen Faktor von 2 vergessen (womit dein Ergebnis wieder stimmt): fuer [mm] $|a_{r+2s}| [/mm] < [mm] (2/\pi)^{s-1} |\Delta_K|^{1/2}$ [/mm] musst du die Grenze mit 2 multiplizieren.
> > Was ist [mm]2^d \det(\psi(\IZ_K))[/mm]?
> >
> Das ist [mm]2^{d}2^{-s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm]
Und $d = r + 2 s$, womit das [mm] $2^{r + s} |\Delta_K|^{1/2}$ [/mm] ist.
> Somit gilt [mm]\mu(E) > 2^{d}det(\psi(\mathbb{Z}_{K}))[/mm] und es
> gibt ein solches [mm]a \in \mathbb{Z}_{K}\backslash\lbrace 0 \rbrace[/mm]
> wie verlangt.
> (Falls ich das zeugs richtig ausgerechnet habe...)
Mit der zusaetzlichen 2 oben passt es, ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> > > Was ist das Volumen von [mm]E[/mm]?
> >
> > Da hab ich [mm]\mu(E) = 2^{r+1}\cdot\pi^{s-1}\cdot\left(\frac{2}{\pi}\right)^{s-1}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} = 2^{r+1}2^{s}\mid\triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > Kann das stimmen?
>
> Vorsicht, aus [mm](2/\pi)^{s-1}[/mm] hast du [mm]2^s \pi^{1-s}[/mm] gemacht.
> Es muesste [mm]2^{r+s} |\Delta_K|^{1/2}[/mm] uebrigbleiben.
>
> Dafuer hast du noch einen Faktor von 2 vergessen (womit
> dein Ergebnis wieder stimmt): fuer [mm]|a_{r+2s}| < (2/\pi)^{s-1} |\Delta_K|^{1/2}[/mm]
> musst du die Grenze mit 2 multiplizieren.
Ja genau.. ich hab da den Faktor nicht abgeschrieben.. aber ich hatte es aufm Blatt :) Dann passts ja!
Vielen Dank für die Hilfe.. evtl. komme ich nochmals für weitere Teilaufgaben auf diesen Thread zurück :)
Grüsse, Amaro
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