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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 So 02.11.2008 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Man leite her:
(1) (A [mm] \to [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \to [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \to [/mm] C)
(2) (A [mm] \vee [/mm] B [mm] \to [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \to [/mm] C) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \to [/mm] C)
und gebe für jede der beiden Richtungen jeweils einen Herleitungsterm an. |
Hallo!
Eigentlich habe ich ein paar generelle Fragen, die ich an den folgenden Aufgaben veranschaulichen will. Das ist denk ich so einfacher zu verstehen und leichter zu erklären.
Zur (1) habe ich folgende zwei Möglichkeiten, von denen ich aber leider nicht weiß, welche stimmt und ob überhaupt eine davon stimmt, weil ich mir in vielen Dingen der Herleitungen einfach unsicher bin:
Vorschlag Nr 1 für die "Rückrichtung" von (1):
[mm] \underline{[u:A \to B] v:A} _{\to^{-}} \underline{[w:A \to C] [x:A]} _{\to^{-}}
[/mm]
[mm] \underline{B ............................... C } _{\wedge^{+}}
[/mm]
[mm] \underline{B \wedge C} _{\to^{+} x}
[/mm]
[mm] \underline{A \to B \wedge C} _{\to^{+} u,w \wedge ^{+}} [/mm]
(A [mm] \to [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \to [/mm] C) [mm] \to [/mm] (A [mm] \to [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C)
(Die Punkte sollen weg, aber ich weiß nicht, wie ich sonst Abstand zwischen B und C hinbekomme)
Hier meine Frage. Ich habe ja in der ersten Zeile auch die Annahme v:A, die ich allerdings im Verlauf nicht verwende. Ist denn das generell möglich? In der Vorlesung verwenden wir nämlich immer alle Annahmen und ich finde bei meinen Herleitungen immer viele Wege, allerdings verwende ich eben nicht immer alle Annahmen.
Meine zweite Frage hierzu: Im letzten Schritt mache ich sowohl eine Pfeileinführung als auch eine Konjunktionseinfürhung. Geht das? Wir haben das nicht als Regel oder Axiom aufgeschrieben, klingt aber für mich "logisch"...
nun meine zweite Variante der Rückrichtung von (1), von der ich nur den ersten Schritt mache, weil mir der unklar ist:
[mm] \underline{u:(A \to B) \wedge (A \to C) v:A}
[/mm]
B [mm] \wedge [/mm] C
ist denn das möglich? klingt für mich wieder einleuchtend, aber vielleicht muss man das ja auch erstmal beweisen?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß, hopsie
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Ich gehe davon aus, dass klar ist: A [mm] \to [/mm] B [mm] \gdw \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B
Damit für die Rückrichtung:
(A [mm] \to [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \to [/mm] C) [mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] C) [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C) nach einer Regel von Morgan
[mm] \gdw [/mm] A [mm] \to [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C)
Alles andere entsprechend mit Morganschen Regeln für Boolesche Algebra.
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