Herleitung der Pfadregel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo liebe mathefreunde
es gibt da eine frage die mich immer verfolgt hat und das seit dem ich wahrscheinlichkeitsrechnung hatte.
es geht um die pfadregel
angenommen ich habe eine urne mit 2 roten und 3 blauen kugeln und ich möchte wissen wie gross die wahrscheinlichkeit ist das ich zuerst eine rote und dann eine blaue kugel bekomme, dann rechne ich einfach:
(ohne zurücklegen)
2/5 * 3/4
die frage ist: wie kam man darauf diese ereignisse zu multiplizieren, wieso ist das allgemeingültig, das sehe ich nicht und verstehen tu ich das auch nicht
ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MatheMario und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> es gibt da eine frage die mich immer verfolgt hat und das
> seit dem ich wahrscheinlichkeitsrechnung hatte.
>
> es geht um die pfadregel
> angenommen ich habe eine urne mit 2 roten und 3 blauen
> kugeln und ich möchte wissen wie gross die
> wahrscheinlichkeit ist das ich zuerst eine rote und dann
> eine blaue kugel bekomme, dann rechne ich einfach:
> (ohne zurücklegen)
> 2/5 * 3/4
>
> die frage ist: wie kam man darauf diese ereignisse zu
> multiplizieren, wieso ist das allgemeingültig, das sehe
> ich nicht und verstehen tu ich das auch nicht
Sei $A$ das Ereignis "zuerst eine rote Kugel gezogen" und $B$ das Ereignis "als zweites eine blaue Kugel gezogen".
Du suchst die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(A\cap [/mm] B)$, dass $A$ und $B$ zugleich eintreten.
Erklärung 1:
Falls dir die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$ (wohldefiniert wegen $P(A)>0$) etwas sagt: Es gilt
[mm] $P(A\cap [/mm] B)=P(A)*P(B|A)$.
Das folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$.
Es gilt [mm] $P(A)=\bruch25$ [/mm] und [mm] $P(B|A)=\bruch34$.
[/mm]
Letzteres entnimmt man der anschaulichen Bedeutung von $P(B|A)$: In [mm] $\bruch34$ [/mm] der Fälle, in denen $A$ eintritt, tritt (auch) $B$ ein.
Erklärung 2:
Wir betrachten Wahrscheinlichkeiten als den Wert, dem sich nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen relative Häufigkeiten bei großer Versuchsanzahl annähern.
Klingt kompliziert, aber gemeint ist in deinem Beispiel einfach:
Angenommen wir führen diesen Urnenversuch sehr oft (n mal für n "groß") durch und ermitteln die absolute Häufigkeit [mm] $H_A$, [/mm] wie oft dabei $A$ eintritt. Dann wird die relative Häufigkeit
[mm] $h_A:=\bruch{H_A}{n}$
[/mm]
(also der Anteil der Versuche, in denen A eintritt) vermutlich nahe der Wahrscheinlichkeit [mm] $P(A)=\bruch25$ [/mm] liegen.
Das heißt einfach nur, dass wir vermutlich in etwa [mm] $\bruch25$ [/mm] der Versuche zunächst eine rote Kugel ziehen werden.
Also [mm] $\bruch25=P(A)\approx h_A=\bruch{H_A}{n}$.
[/mm]
Analog kann man die Bezeichnungen [mm] $h_{A\cap B}$ [/mm] und [mm] $H_{A\cap B}$ [/mm] einführen für die relative bzw. absolute Häufigkeit des Eintretens von [mm] $A\cap [/mm] B$. Entsprechend gilt
[mm] $h_{A\cap B}=\bruch{H_{A\cap B}}n$.
[/mm]
Wir suchen [mm] $P(A\cap B)\approx h_{A\cap B}=\bruch{H_{A\cap B}}{n}$.
[/mm]
Wir wissen weiter, dass vermutlich in etwa [mm] $\bruch34$ [/mm] der [mm] $H_A$ [/mm] vielen Versuche, in denen $A$ eintritt, auch $B$ eintritt.
Die Anzahl der Versuche, in denen $A$ und $B$ eintreten, wird also vermutlich bei etwa
[mm] $\bruch34*H_A$
[/mm]
liegen.
Diese Anzahl hatten wir mit [mm] $H_{A\cap B}$ [/mm] bezeichnet. Also
[mm] $H_{A\cap B}\approx\bruch34*H_A$.
[/mm]
Setzen wir nun alles zusammen, so erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
[mm] $P(A\cap B)\approx h_{A\cap B}=\bruch{H_{A\cap B}}{n}=\bruch{\bruch34*H_A}{n}=\bruch{H_{A}}{n}*\bruch34=h_A*\bruch34\approx P(A)*\bruch34=\bruch25*\bruch34$.
[/mm]
Wenn wir die Versuchsanzahl $n$ beliebig groß wählen, werden die Näherungen (mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit) beliebig gut (empirisches Gesetz der großen Zahlen).
Daher ist die Annahme
[mm] $P(A\cap B)=\bruch25*\bruch34$
[/mm]
vernünftig.
Viele Grüße
Tobias
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hallo tobit09
vielen dank für deine schnelle antwort
mir ist aber immer noch nicht klar wieso man entlang eines pfades multipliziert
du hast ganz sauber die definition benutzt, aber mir ist nicht klar wie die mathematiker darauf gekommen sind entlang des pfades zu multiplizieren
was gibt denen das recht dazu? wie sind die darauf gekommen? wieso ist es nur so richtig?
ich hoffe du kannst mir da weiter helfen
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Hallo, rechne doch mal die Wahrscheinlichkeit für JEDEN einzelnen Pfad nach besagter Regel aus, addiere dann alle Ergebnisse, du muß 1 erhalten, Steffi
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> .... mir ist
> nicht klar wie die mathematiker darauf gekommen sind
> entlang des pfades zu multiplizieren
>
> was gibt denen das recht dazu? wie sind die darauf
> gekommen? wieso ist es nur so richtig?
Hallo MatheMario,
ich versuche mal, auf möglichst einfache Weise klar zu
machen, dass es bei dieser Multiplikationsregel nicht nur
um irgendeine abstruse Erfindung "der Mathematiker"
handelt.
Gehen wir einmal davon aus, dass das Experiment mit
dem Ziehen von 2 Kugeln (ohne Zurücklegen) aus einer
Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln sehr oft ausge-
führt wird. Wenn du dir etwas ganz konkretes dabei
vorstellen willst, so geh etwa von 6000 Durchgängen
aus.
Die Wahrscheinlichkeit, jeweils beim ersten Griff in
die Urne eine rote Kugel zu erwischen, ist gleich [mm] \frac{2}{5} [/mm] .
Es ist also (im Mittel) zu erwarten, dass dies in [mm] \frac{2}{5}
[/mm]
aller Fälle eintritt. Bei insgesamt 6000 Durchgängen
wären dies also im Schnitt [mm] \frac{2}{5}*6000=2400 [/mm] Durchgänge,
bei denen im ersten Zug eine rote Kugel erscheint.
Da uns ohnehin nur die Ziehungen "zuerst rot,
dann blau" interessieren, können wir zunächst
mal die übrigen 3600 Durchgänge, bei denen
zuerst eine blaue Kugel gezogen wurde, vergessen.
Falls nun die erste gezogene Kugel wirklich eine
rote war, so wissen wir, dass in der Urne noch
genau eine andere rote und dazu 3 blaue Kugeln
sind. Die Wahrscheinlichkeit, jetzt im zweiten Zug
(nach einer roten) eine blaue Kugel zu erwischen,
ist offensichtlich gleich [mm] \frac{3}{4}. [/mm] Bei den 2400 noch
in Frage kommenden Durchgängen (mit roter Kugel
im ersten Zug) wird also etwa in [mm] \frac{3}{4}*2400=1800
[/mm]
Fällen eine blaue Kugel gezogen.
Zusammengefasst kann man auf diese (durchschnittlich
zu erwartende) Anzahl auch so kommen:
$\ [mm] \left(6000*\frac{2}{5}\right)*\frac{3}{4}\ [/mm] =\ 1800$
oder aber auch so:
$\ [mm] 6000*\left(\frac{2}{5}*\frac{3}{4}\right)\ [/mm] =\ 1800$
Insgesamt kommt die Zugreihenfolge (erst rot, dann blau)
also durchschnittlich in [mm] \frac{3}{4} [/mm] von [mm] \frac{2}{5} [/mm] aller Fälle vor.
Und [mm] \frac{3}{4} [/mm] von [mm] \frac{2}{5} [/mm] aller Fälle bedeutet eben dasselbe
wie [mm] \frac{3}{4}* \frac{2}{5} [/mm] aller Fälle, was man dann zum
Beispiel umrechnen kann zu [mm] \frac{3}{10} [/mm] aller Fälle.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 14.10.2013 | | Autor: | MatheMario |
hallo Al-Chwarizmi
vielen dank für deine super antwort und beispiel, ich glaube ich habe es verstanden und ich glaube ich habe dank dir die wahrscheinlichkeit noch besser verstanden.
Beispiel:
angenommen ich habe 5000 durchgänge und die wahrscheinlichkeit kopf zu bekommen ist 1/2.
das bedeutet einfach von 5000 durchgänge, werde ich im schnitt 2500 mal kopf bekommen.
so kann man sich die 1/2 vorstellen, so kann man sich 50% wahrscheinlichkeit deutlich machen.
wenn man sich jetzt fragt wie man das berechnet hat, dann ist das ganz klar:
"anzahl der durchgänge" * "wahrscheinlichkeit"
in meinem fall wäre das einfach 5000 * 1/2 = 2500
wenn ich mich jetzt frage wie hoch die wahrscheinlichkeit ist zuerst kopf dann zahl zu bekommen dann muss ich folgendes berechnen:
5000 * 1/2 = 2500
das gibt mir die anzahl des durchschnitts wie oft kopf kommen wird
jetzt muss/darf ich mich nur noch bei den 2500 durchgänge aufhalten, denn das ist der bereich der noch in frage kommt, das ist die zahl der durchgänge die die 50% angibt, das ist die anzahl wo durchschnittlich kopf beim ersten zug "zu finden ist, und das will ich ja laut aufgaben stelleung
deshalb muss ich 2500 * 1/2 rechnen
man kann also auch sagen:
die wahrscheinlichkeit bei 5000 durchgängen kopf UND zahl zu bekommen ist
also 5000 * 1/2 * 1/2
also 50% aller fälle UND von diesen "50% aller fälle" nochmals 50% aller fälle.
somit ist ganz klar dass daraus "1/2 * 1/2 * "anzahl der durchgänge"" folgt aufgrund des prozent, da man den anteil des ganzen haben will.
(wobei ein durchgang zwei mal werfen, oder zwei mal zwei gleiche münzen gleichzeitig werfen ist)
in meinem beispiel mit den kugeln war die anzal der durchgänge einfach 1
sorry dass ich das alle wiederholt habe, aber ich hoffe das ich bei meiner wiederholung alles verstanden habe.
hoffe ich bekomme deinen segen für deise widerholung und danke dir nochmals sehr
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> vielen dank für deine super antwort und beispiel, ich
> glaube ich habe es verstanden und ich glaube ich habe dank
> dir die wahrscheinlichkeit noch besser verstanden.
>
> Beispiel:
> angenommen ich habe 5000 durchgänge und die
> wahrscheinlichkeit kopf zu bekommen ist 1/2.
>
> das bedeutet einfach von 5000 durchgänge, werde ich im
> schnitt 2500 mal kopf bekommen.
>
> so kann man sich die 1/2 vorstellen, so kann man sich 50%
> wahrscheinlichkeit deutlich machen.
>
>
> wenn man sich jetzt fragt wie man das berechnet hat, dann
> ist das ganz klar:
> "anzahl der durchgänge" * "wahrscheinlichkeit"
>
> in meinem fall wäre das einfach 5000 * 1/2 = 2500
>
>
> wenn ich mich jetzt frage wie hoch die wahrscheinlichkeit
> ist zuerst kopf dann zahl zu bekommen dann muss ich
> folgendes berechnen:
>
> 5000 * 1/2 = 2500
> das gibt mir die anzahl des durchschnitts wie oft kopf
> kommen wird
>
> jetzt muss/darf ich mich nur noch bei den 2500 durchgänge
> aufhalten, denn das ist der bereich der noch in frage
> kommt, das ist die zahl der durchgänge die die 50% angibt,
> das ist die anzahl wo durchschnittlich kopf beim ersten zug
> "zu finden ist, und das will ich ja laut aufgaben
> stelleung
>
> deshalb muss ich 2500 * 1/2 rechnen
>
>
> man kann also auch sagen:
>
> die wahrscheinlichkeit bei 5000 durchgängen kopf UND zahl
> zu bekommen ist
> also 5000 * 1/2 * 1/2
>
> also 50% aller fälle UND von diesen "50% aller fälle"
> nochmals 50% aller fälle.
>
> somit ist ganz klar dass daraus "1/2 * 1/2 * "anzahl der
> durchgänge"" folgt aufgrund des prozent, da man den anteil
> des ganzen haben will.
>
> (wobei ein durchgang zwei mal werfen, oder zwei mal zwei
> gleiche münzen gleichzeitig werfen ist)
>
> in meinem beispiel mit den kugeln war die anzal der
> durchgänge einfach 1
>
> sorry dass ich das alle wiederholt habe, aber ich hoffe das
> ich bei meiner wiederholung alles verstanden habe.
>
>
> hoffe ich bekomme deinen segen für deise widerholung und
> danke dir nochmals sehr
> Al-Chwarizmi
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Zumindest meinen Segen hast du!
Auch mir gefällt die Erklärung von Al-Chwarizmi sehr gut.
Dank euch beiden hat sich auch mein Wahrscheinlichkeitsbegriff erweitert:
Bisher habe ich (gemäß dem Stochastik-Buch von Henze) Wahrscheinlichkeit immer als "Limes" der relativen Häufigkeiten bei gegen unendlich strebender Versuchsanzahl (der nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen existiert) interpretiert.
Nun kommt die Interpretation als "mittlere" relative Häufigkeit dazu. Das mag Henze zwar als unpräziser empfinden, aber es gibt auch aus meiner Sicht die Intuition von Wahrscheinlichkeit besser wieder.
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> Bisher habe ich (gemäß dem Stochastik-Buch von Henze)
> Wahrscheinlichkeit immer als "Limes" der relativen
> Häufigkeiten bei gegen unendlich strebender Versuchsanzahl
> (der nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen
> existiert) interpretiert.
Hallo Tobias,
mit der "Definition" (!) von Wahrscheinlichkeiten als
Grenzwerte von relativen Häufigkeiten bei n Versuchen,
wobei n gegen unendlich streben sollte, hatte ich schon
Mühe (***), als ich dies zum ersten Mal hörte.
Auf diese Weise könnten wir ja keine einzige der Wahr-
scheinlichkeiten, mit denen wir so locker umgehen,
wirklich exakt bestimmen, nicht einmal die Wahrschein-
lichkeit, dass ein Münzenwurf "Zahl" zeigt.
Deshalb war mir von Anfang an das Konzept der "apriori-
Wahrscheinlichkeiten" lieber, bei welchen man von
Symmetrieprinzipien ausgeht. Zum Beispiel: wenn ich
einen Spielwürfel werfe, so wird er schließlich liegen
bleiben, wobei genau eine bestimmte von 6 möglichen
Seitenflächen obenauf erscheinen wird. Falls der Wurf
unter genügend "chaotischen" Bedingungen vollzogen
wurde und ich insbesondere kein Wissen darüber habe,
so muss jedem der 6 möglichen Fälle dieselbe Wahr-
scheinlichkeit zukommen. Dahinter steckt natürlich
auch die geometrische Symmetrie des Würfels.
LG , Al-Chw.
(***)
Anstatt zu sagen, ich hätte damit Mühe gehabt, hätte
ich eigentlich auch sagen können, ich hätte dabei ein
irgendwie ![[]](/images/popup.gif) MISES Gefühl gehabt ... 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:08 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al,
> mit der "Definition" (!) von Wahrscheinlichkeiten als
> Grenzwerte von relativen Häufigkeiten bei n Versuchen,
> wobei n gegen unendlich streben sollte, hatte ich schon
> Mühe (***), als ich dies zum ersten Mal hörte.
Natürlich ist dies keine mathematische Definition, sondern eine Beschreibung, was Wahrscheinlichkeiten aussagen sollen.
> Auf diese Weise könnten wir ja keine einzige der Wahr-
> scheinlichkeiten, mit denen wir so locker umgehen,
> wirklich exakt bestimmen, nicht einmal die Wahrschein-
> lichkeit, dass ein Münzenwurf "Zahl" zeigt.
> Deshalb war mir von Anfang an das Konzept der "apriori-
> Wahrscheinlichkeiten" lieber, bei welchen man von
> Symmetrieprinzipien ausgeht. Zum Beispiel: wenn ich
> einen Spielwürfel werfe, so wird er schließlich liegen
> bleiben, wobei genau eine bestimmte von 6 möglichen
> Seitenflächen obenauf erscheinen wird. Falls der Wurf
> unter genügend "chaotischen" Bedingungen vollzogen
> wurde und ich insbesondere kein Wissen darüber habe,
> so muss jedem der 6 möglichen Fälle dieselbe Wahr-
> scheinlichkeit zukommen. Dahinter steckt natürlich
> auch die geometrische Symmetrie des Würfels.
Ich gebe dir Recht.
> (***)
>
> Anstatt zu sagen, ich hätte damit Mühe gehabt, hätte
> ich eigentlich auch sagen können, ich hätte dabei ein
> irgendwie
> MISES
> Gefühl gehabt ...
Danke für den tollen Link!
(Ich habe die Seite zunächst nur überflogen, aber werde sie mir nochmal gründlicher anschauen.)
Ich wusste gar nicht, dass sich einige Leute mit der Frage nach Bedeutung von Wahrscheinlichkeit schon intensiver beschäftigt haben.
In der Universitäts-Stochastik spielen diese Fragen ja normalerweise keine Rolle.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo Al,
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> > mit der "Definition" (!) von Wahrscheinlichkeiten als
> > Grenzwerte von relativen Häufigkeiten bei n
> Versuchen,
> > wobei n gegen unendlich streben sollte, hatte ich
> schon
> > Mühe (***), als ich dies zum ersten Mal hörte.
> Natürlich ist dies keine mathematische Definition,
> sondern eine Beschreibung, was Wahrscheinlichkeiten
> aussagen sollen.
Richard von Mises' Idee war (falls ich das richtig ver-
standen habe) schon, durch eine solche Definition die
Wahrscheinlichkeitslehre auf eine solidere mathematische
Grundlage, nämlich die Analysis, zu stellen.
> > Auf diese Weise könnten wir ja keine einzige der Wahr-
> > scheinlichkeiten, mit denen wir so locker umgehen,
> > wirklich exakt bestimmen, nicht einmal die Wahrschein-
> > lichkeit, dass ein Münzenwurf "Zahl" zeigt.
> > Deshalb war mir von Anfang an das Konzept der
> "apriori-
> > Wahrscheinlichkeiten" lieber, bei welchen man von
> > Symmetrieprinzipien ausgeht. Zum Beispiel: wenn ich
> > einen Spielwürfel werfe, so wird er schließlich
> liegen
> > bleiben, wobei genau eine bestimmte von 6 möglichen
> > Seitenflächen obenauf erscheinen wird. Falls der Wurf
> > unter genügend "chaotischen" Bedingungen vollzogen
> > wurde und ich insbesondere kein Wissen darüber habe,
> > so muss jedem der 6 möglichen Fälle dieselbe Wahr-
> > scheinlichkeit zukommen. Dahinter steckt natürlich
> > auch die geometrische Symmetrie des Würfels.
> Ich gebe dir Recht.
>
> > (***)
> >
> > Anstatt zu sagen, ich hätte damit Mühe gehabt, hätte
> > ich eigentlich auch sagen können, ich hätte dabei
> ein
> > irgendwie
> >
> MISES
> > Gefühl gehabt ...
> Danke für den tollen Link!
> (Ich habe die Seite zunächst nur überflogen, aber werde
> sie mir nochmal gründlicher anschauen.)
>
> Ich wusste gar nicht, dass sich einige Leute mit der Frage
> nach Bedeutung von Wahrscheinlichkeit schon intensiver
> beschäftigt haben.
Na, es gibt schon eine ganze Reihe solcher Leute.
> In der Universitäts-Stochastik spielen diese Fragen ja
> normalerweise keine Rolle. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Damit meinst du aber wohl nur die mehr elementaren
Kurse und nicht jene über den axiomatischen Aufbau
der Theorie via Maßtheorie.
Viele Grüße , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al,
> > > mit der "Definition" (!) von Wahrscheinlichkeiten als
> > > Grenzwerte von relativen Häufigkeiten bei n
> > Versuchen,
> > > wobei n gegen unendlich streben sollte, hatte ich
> > schon
> > > Mühe (***), als ich dies zum ersten Mal hörte.
> > Natürlich ist dies keine mathematische Definition,
> > sondern eine Beschreibung, was Wahrscheinlichkeiten
> > aussagen sollen.
>
> Richard von Mises' Idee war (falls ich das richtig ver-
> standen habe) schon, durch eine solche Definition die
> Wahrscheinlichkeitslehre auf eine solidere mathematische
> Grundlage, nämlich die Analysis, zu stellen.
Dann kann ich dazu nur sagen, dass seine "Limes-Definition" der Wahrscheinlichkeit aus meiner Sicht dazu ungeeignet ist.
> > Ich wusste gar nicht, dass sich einige Leute mit der Frage
> > nach Bedeutung von Wahrscheinlichkeit schon intensiver
> > beschäftigt haben.
>
> Na, es gibt schon eine ganze Reihe solcher Leute.
>
> > In der Universitäts-Stochastik spielen diese Fragen ja
> > normalerweise keine Rolle.
>
> Damit meinst du aber wohl nur die mehr elementaren
> Kurse und nicht jene über den axiomatischen Aufbau
> der Theorie via Maßtheorie.
Doch, ich meine ausdrücklich die Kurse mit einem axiomatischen Aufbau.
Dort macht man in erster Linie Aussagen über mathematische Objekte wie Mengen und Abbildungen, nicht über Wahrscheinlichkeiten aus der realen Welt.
Wenn doch reale Zusammenhänge modelliert werden, geht man üblicherweise von gewissen Grundannahmen aus, z.B.
(*) "Jede Augenzahl eines gewöhnlichen Würfels hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, geworfen zu werden.",
ohne sich Gedanken zu machen, was eine solche Aussage über reale Wahrscheinlichkeiten eigentlich bedeuten soll.
Die Definition eines mathematischen Wahrscheinlichkeitsraumes mit Grundmenge [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] und der Laplace-Verteilung darauf, beantwortet diese Frage jedenfalls nicht.
Anschauungen zur Bedeutung der grundlegendsten Annahmen wie (*) (z.B. dass bei mehrfachem Würfelwurf "im Mittel" alle Zahlen gleich häufig drankommen) habe ich jedenfalls an der Uni nicht präsentiert bekommen.
Das finde ich auch grundsätzlich nicht schlimm. Für die Praxis sind solche Fragen ohnehin unerheblich (solange man eine gewisse Grundintuition zu (*) hat), für die mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie über Mengen und Abbildungen auch.
(Nur bei der Einführung bedingter Wahrscheinlichkeiten habe ich eine angemessene Motivation vermisst, warum anschauliche Bedeutung davon und mathematische Definition zusammenpassen. Da hat mein damaliger Professor nur von "Einschränkung des ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsmaßes und anschließender Renormierung" gesprochen.)
Viele Grüße
Tobias
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> hallo Al-Chwarizmi
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> vielen dank für deine super antwort und beispiel, ich
> glaube ich habe es verstanden und ich glaube ich habe dank
> dir die wahrscheinlichkeit noch besser verstanden.
>
> Beispiel:
> angenommen ich habe 5000 durchgänge und die
> wahrscheinlichkeit kopf zu bekommen ist 1/2.
>
> das bedeutet einfach von 5000 durchgänge, werde ich im
> schnitt 2500 mal kopf bekommen.
>
> so kann man sich die 1/2 vorstellen, so kann man sich 50%
> wahrscheinlichkeit deutlich machen.
>
>
> wenn man sich jetzt fragt wie man das berechnet hat, dann
> ist das ganz klar:
> "anzahl der durchgänge" * "wahrscheinlichkeit"
>
> in meinem fall wäre das einfach 5000 * 1/2 = 2500
>
>
> wenn ich mich jetzt frage wie hoch die wahrscheinlichkeit
> ist zuerst kopf dann zahl zu bekommen dann muss ich
> folgendes berechnen:
>
> 5000 * 1/2 = 2500
> das gibt mir die anzahl des durchschnitts wie oft kopf
> kommen wird
>
> jetzt muss/darf ich mich nur noch bei den 2500 durchgänge
> aufhalten, denn das ist der bereich der noch in frage
> kommt, das ist die zahl der durchgänge die die 50% angibt,
> das ist die anzahl wo durchschnittlich kopf beim ersten zug
> "zu finden ist, und das will ich ja laut aufgaben
> stelleung
>
> deshalb muss ich 2500 * 1/2 rechnen
>
>
> man kann also auch sagen:
>
> die wahrscheinlichkeit bei 5000 durchgängen kopf UND zahl
> zu bekommen ist
> also 5000 * 1/2 * 1/2
>
> also 50% aller fälle UND von diesen "50% aller fälle"
> nochmals 50% aller fälle.
>
> somit ist ganz klar dass daraus "1/2 * 1/2 * "anzahl der
> durchgänge"" folgt aufgrund des prozent, da man den anteil
> des ganzen haben will.
>
> (wobei ein durchgang zwei mal werfen, oder zwei mal zwei
> gleiche münzen gleichzeitig werfen ist)
>
> in meinem beispiel mit den kugeln war die anzal der
> durchgänge einfach 1
>
> sorry dass ich das alle wiederholt habe, aber ich hoffe das
> ich bei meiner wiederholung alles verstanden habe.
>
>
> hoffe ich bekomme deinen segen für deise widerholung und
> danke dir nochmals sehr
Hallo MatheMario,
Segen zu erteilen bin ich nicht so gewohnt - aber es freut
mich, wenn meine Erläuterung dir geholfen hat.
Für mein Beispiel bin ich von einer Anzahl von 6000
Durchgängen ausgegangen. Das ist zwar eine ziemlich
große Zahl. Bedenke dabei nur, dass bei realer Ausfüh-
rung so vieler Versuche die Anzahl der Fälle mit "erste
Kugel rot" wohl nur mit etwas Glück exakt gleich
$ [mm] \frac{2}{5}\cdot{}6000=2400 [/mm] $ wäre. Eine gewisse (aber vermutlich relativ
kleine) Abweichung wäre absolut normal.
Das "Gesetz der großen Zahl" , das eine, vielleicht die
wichtigste der Wurzeln des Erfolgs der Wahrscheinlichkeits-
theorie ist, sagt aber: wenn du mit der Genauigkeit der
Approximation bei 6000 Durchführungen noch nicht
zufrieden bist, dann mache das (Gedanken-) Experiment
z.B. mit 600'000 Durchgängen. Dann wird zwar die zu
erwartende Abweichung vom "Idealwert" 240'000
absolut gesehen wohl deutlich größer - aber die relative
Abweichung (der relativen Häufigkeit von der exakten
theoretischen Wahrscheinlichkeit) in der Regel deutlich
kleiner.
LG , Al-Chw.
Für Spezialisten: die angegebene Version des "Gesetzes der
großen Zahl" ist natürlich sehr vereinfacht und sollte (bitte)
nicht auf die Goldwaage gelegt werden ...
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