Herleitung Invertierbarkeit < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 20.11.2013 | | Autor: | jktz8432 |
Hallo,
kann mir jemand bei der Herleitung der Invertierbarkeit einer 2x2 Matrix helfen?
Gegen sind ja A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] u. B= [mm] \pmat{ d& -c \\ -b & a }
[/mm]
Warum kommt man am Ende des Beweises (wie er auch auf folgender Seite beschrieben ist: http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_02/ma_11_02_05.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_02/ma_11_02_12.vscml.html )
Auf A^-1 = 1 / ad−bc * [mm] \pmat{ d & -c \\ -b & a }
[/mm]
Der Term 1 / ad−bc ist soweit klar, aber warum wird der Term mit der Matrix B multipliziert und nicht mit A*B / A?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> kann mir jemand bei der Herleitung der Invertierbarkeit
> einer 2x2 Matrix helfen?
>
> Gegen sind ja A= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] u. B= [mm]\pmat{ d& -c \\ -b & a }[/mm]
>
> Warum kommt man am Ende des Beweises (wie er auch auf
> folgender Seite beschrieben ist:
> http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_02/ma_11_02_05.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_02/ma_11_02_12.vscml.html
> )
>
> Auf A^-1 = 1 / ad−bc * [mm]\pmat{ d & -c \\ -b & a }[/mm]
Du musst schon Klammern um [mm] $ad-bc\,$ [/mm] setzen, sonst ist das Quatsch!
> Der Term 1 / ad−bc ist soweit klar, aber warum wird der
s.o.: [mm] $1/(ad-bc)\,.$ [/mm] Denn $1/ad-bc$ würde man als
[mm] $\frac{1}{a}*d-bc$
[/mm]
lesen (auch nicht(!) als [mm] $\frac{1}{ad}-bc$!)
[/mm]
> Term mit der Matrix B multipliziert und nicht mit A*B / A?
Wie willst Du denn durch eine Matrix dividieren??? (I.A. sind Matrizen nicht
invertierbar - und obige Matrix [mm] $A\,$ [/mm] ist auch "nur" im Falle [mm] $ad-bc\not=0$ [/mm] invertierbar;
aber was soll sowas wie [mm] $1/A\,$ [/mm] "bringen", wenn doch [mm] $1/A\,$ [/mm] nur eine Symbolik
für [mm] $A^{-1}$ [/mm] ist und Du gerade [mm] $A^{-1}$ [/mm] gar nicht kennst, sondern ausrechnen
oder eine Formel dafür herleiten/begründen willst? Übrigens würde man die
[mm] $1\,$ [/mm] in [mm] $1/A\,$ [/mm] dann auch besser als [mm] $E_{2}:=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] interpretieren,
denn [mm] $E_2$ [/mm] ist in der Menge aller $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen über [mm] $\IR$ [/mm] hier das
multiplikativ neutrale Element!)
Es soll doch
[mm] $A*A^{-1}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
sein. Ferner gilt
[mm] $r*\pmat{s & t \\ u & v}=\pmat{r*s & r*t\\ r*u & r*v}\,.$
[/mm]
Dort wurde
[mm] $A*B=\pmat{ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc}=\pmat{(ad-bc)*1, & (ad-bc)*0\\(ad-bc)*0, & (ad-bc)*1}$
[/mm]
nachgerechnet. Also haben wir
[mm] $A*B=(ad-bc)*\pmat{1 & 0\\0 & 1}\,.$
[/mm]
Im Falle $ad-bc [mm] \not=0$ [/mm] ersetze nun mal [mm] $B\,$ [/mm] durch
[mm] $\tilde{B}:=\frac{1}{ad-bc}*B$
[/mm]
und denke nach, was das nun bedeutet! (Was ist dann [mm] $A*\tilde{B}=\frac{1}{ad-bc}*(A*B)$?)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 20.11.2013 | | Autor: | jktz8432 |
$ [mm] A\cdot{}B=(ad-bc)\cdot{}\pmat{1 & 0\\0 & 1}\,. [/mm] $
Würde dann ja heißen, dass A^-1 = [mm] \frac{1}{ad-bc}\cdot{}B [/mm] $ sein muss, damit A * A^-1 = E erfüllt ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]A\cdot{}B=(ad-bc)\cdot{}\pmat{1 & 0\\0 & 1}\,.[/mm]
>
>
> Würde dann ja heißen, dass A^-1 = [mm]\frac{1}{ad-bc}\cdot{}B[/mm]
genau: Mein [mm] $\tilde{B}$ [/mm] ist nichts anderes als [mm] $A^{-1}$!
[/mm]
> sein muss, damit A * A^-1 = E erfüllt ist ?
So sieht's aus. Beachte aber, dass dabei zwingend
$ad-bc [mm] \not=0$
[/mm]
gelten muss. (Sonst kannst Du [mm] $1/(ad-bc)\,$ [/mm] schon gar nicht hinschreiben...!)
Also Fazit:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix#Formel_f.C3.BCr_2x2-Matrizen
bzw. (wie gesagt: für $ad-bc [mm] \not=0$):
[/mm]
Für [mm] $A=\pmat{a, & b \\ c, & d}$ [/mm] gilt
$ [mm] A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{ad-bc}*\pmat{d, & -b \\ -c, & a}=\pmat{\displaystyle\frac{d}{ad-bc}, & & \displaystyle\frac{-b}{ad-bc} \\ \\ \displaystyle\frac{-c}{ad-bc}, & & \displaystyle\frac{a}{ad-bc}}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Mi 20.11.2013 | | Autor: | jktz8432 |
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir ist übrigens gerade aufgefallen:
> Hallo,
>
> kann mir jemand bei der Herleitung der Invertierbarkeit
> einer 2x2 Matrix helfen?
>
> Gegen sind ja A= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] u. B= [mm]\pmat{ d& -c \\ -b & a }[/mm]
bei Deiner Matrix [mm] $B\,$ [/mm] ist ein "Abschreibe"-Fehler:
[mm] $B=\pmat{ d& \red{\,-\;b} \\ \red{\;-\,c} & a }$
[/mm]
So sieht die (auch im Link) korrekt aus! [mm] ($a\,$ [/mm] und [mm] $d\,$ [/mm] werden vertauscht,
aber bei [mm] $b\,$ [/mm] und [mm] $c\,$ [/mm] wird nur das Vorzeichen geändert, getauscht werden
die nicht gegeneinander!)
Gruß,
Marcel
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