Herleitung Flächträgheitsmoment < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 22.06.2004 | | Autor: | drew |
hallo
ich suche die herleitung der formel zur berechnung des axialen flächenmoments 2. grades einer funktion bezüglich der x-achse.
[mm] I_{x}= [/mm] 1 /3 * [mm] \int_a^b f(x)^3\, [/mm] dx
die formel habe ich aus "Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung
(6. Ausgabe, s.166)"
wär super wenn mir jemand sagen könnte, wie man diese formel herleiten kann..danke!!
ich habe die frage bereits in folgendem forum:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/3528,0.html?sid=713e2aaf78d7f24712f82b3b450a24c4
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Di 22.06.2004 | | Autor: | drew |
Ist erledigt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo drew
ich habe dazu mal eine kleine Skizze gemacht:
ein x-y-Koordinatensystem, dazu den Graphen einer Funktion > 0 und die Fläche unter der Kurve eingezeichnet, innerhalb der x-Grenzen $a$ und $b$ (wie man das im Zusammenhang mit der Integralrechnung wohl schon zigmal gemacht hat). Wenn man nun annimmt, dass auf der Fläche eine Masse verteilt ist mit spezifischem Gewicht $1$, dann liegt in einem Quadrätchen mit den Seiten $dx$ und $dy$ gerade die Masse $dx*dy$. Für die Massenträgheit eines Massenpunktes (Masse $m$) bezüglich einer Achse $a$ mit dem Abstand $r$ von dieser Achse gilt (Physik): [mm] $I_{a} [/mm] = [mm] m*r^2$.
[/mm]
Uebertragen auf unser Problem also:
[mm] $I_x=dx*dy*y^{2}=y^{2}*dy*dx$
[/mm]
Diese infinitesimalen Elemente brauchst du jetzt nur noch über der ganzen Fläche zusammenzuzählen, sprich: zu integrieren: (dabei siehst du an der Skizze, dass $y$ von $0$ bis $f(x)$ läuft, während $x$ von $a$ bis $b$ läuft. Somit:
[mm] $I_x=\int_{a}^{b}\int_{0}^{f(x)}y^{2}\,dy\,dx=\int_{a}^{b}(\int_{0}^{f(x)}{y^{2}}\,dy)\,dx=\int_{a}^{b}\bruch{f(x)^{3}}{3}\,dx=\bruch{1}{3}\int_{a}^{b}f(x)^{3}\,dx$ [/mm] 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo drew
vielleicht wäre es sinnvoll, auf dem anderen Forum darauf hinzuweisen, dass die Aufgabe im Matheraum schon gelöst worden ist, respektive, dass deine Frage intensiv studiert wird. 
Sonst denken sich andere das Gehirn aus dem Kopf, obwohl das gar nicht mehr nötig ist!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 22.06.2004 | | Autor: | drew |
Super! Danke vielmals! wünsche noch einen schönen abend..
ps: die im anderen forum wissen bescheid!
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