Herleitung E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 24.09.2010 | | Autor: | nepomuk |
Hallo zusammen:)
ich werde jetzt mal versuchen die Eulersche Zahl herzuleiten.
aaaallsssoo....
über das Bilden des Differenzeinquotienten [mm] m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2-}y_{1}}{x_{2-x_{1}-}} [/mm] gilt für die allg. Ableitung an der Stell [mm] x_0 [/mm] folgendes:
[mm] f´(x)=\lim_{h\rightarrow\infty} \frac{f(x+h)-f(x)}{x-(x+h)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f\ddot{u}r [/mm] die Ableitung einer Exponentialfunktion muss dann gelten:
f´(x)= [mm] \lim_{h\rightarrow\infty} \frac{f(b^{x+h})-f(b^{x})}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{x}*b^{h}-b^{x}}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{x}*b^{h}-b^{x}}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\lim_{h\rightarrow\infty}b^{x}\frac{b^{h}-1}{h}
[/mm]
da sich das [mm] \lim_{h\rightarrow\infty} [/mm] auf h und nicht auf x bezieht,kann das Limes vor den Quotienten [mm] \frac{b^{h-1}}{h} [/mm] ziehen.
[mm] \Rightarrow b^{x}(\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{h}-1}{h}).Das [/mm] Ereignis dieser Herleitung lautet folgendermaßen:
aus der Funktion [mm] b^{x}(\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{h}-1}{h})kann [/mm] man entnehmen,dass der Streckungsfaktor [mm] (\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{h}-1}{h}) [/mm] bzw f´(0) der die Funktion der Ableitung [mm] f'(x)=b^x [/mm] bestimmt.
Die Ableitung einer Exponentialfunktion muss also wie folgt lauten:
[mm] f'(x)=f'(0)*b^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] aus diesen Erkenntnissen muss dann für die Ableitung einer E-Funktion folgendes gelten:
[mm] f´(x)=\lim_{h\rightarrow\infty} \frac{f(e^{x+h})-f(e^{x})}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\frac{e^{x}*e^{h}-e^{x}}{h}\Leftrightarrow e^{x}\frac{e^{h}-1}{h}
[/mm]
da sich das [mm] \lim_{h\rightarrow\infty} [/mm] auf h und nicht auf x bezieht,kann das Limes vor den Quotienten [mm] \frac{e^{h-1}}{h} [/mm] ziehen.
[mm] \Rightarrow e^{x}(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{h}-1}{h}).
[/mm]
Herleitung der Eulerschen Zahl:
Eine Funktion mit der Basis e (ungefähr 2,718...)entspricht so ziemlich genau mit dem Funktionsverlauf der eigenen Ableitung .
[mm] \Rightarrow f_{e}(x)=f_{e}'(x)\Leftrightarrow f_{e}'(x)\Rightarrowf'(0)*b^x=e^x
[/mm]
da f'(0)=1 [mm] bzw\Rightarrow (\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{e^{h}-1}{h})=1 [/mm] gelten muss,kann die Zahl e=7,2182....durch geschicktes umstellen ermittelt werden.
somit folgt [mm] aus:e^{h-1}=1 [/mm] mit h=1/n die Gleichung e^17n-1/1/n =1.
die Gleichung umgestellt nach e lautet:
[mm] e=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
[/mm]
Ich bitte um Verbesserung und eventuelle Tipps, wie ich es hätte besser machen können.
NEPOMUK
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Fr 24.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen:)
>
> ich werde jetzt mal versuchen die Eulersche Zahl
> herzuleiten.
>
> aaaallsssoo....
>
> über das Bilden des Differenzeinquotienten [mm]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2-}y_{1}}{x_{2-x_{1}-}}[/mm]
> gilt für die allg. Ableitung an der Stell [mm]x_0[/mm] folgendes:
>
> [mm]f´(x)=\lim_{h\rightarrow\infty} \frac{f(x+h)-f(x)}{x-(x+h)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f\ddot{u}r[/mm] die Ableitung einer
> Exponentialfunktion muss dann gelten:
>
> f´(x)= [mm]\lim_{h\rightarrow\infty} \frac{f(b^{x+h})-f(b^{x})}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{x}*b^{h}-b^{x}}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{x}*b^{h}-b^{x}}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\lim_{h\rightarrow\infty}b^{x}\frac{b^{h}-1}{h}[/mm]
>
> da sich das [mm]\lim_{h\rightarrow\infty}[/mm] auf h und nicht auf x
> bezieht,kann das Limes vor den Quotienten [mm]\frac{b^{h-1}}{h}[/mm]
> ziehen.
>
> [mm]\Rightarrow b^{x}(\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{h}-1}{h}).Das[/mm]
> Ereignis dieser Herleitung lautet folgendermaßen:
>
> aus der Funktion
> [mm]b^{x}(\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{h}-1}{h})kann[/mm] man
> entnehmen,dass der Streckungsfaktor
> [mm](\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{b^{h}-1}{h})[/mm] bzw f´(0) der
> die Funktion der Ableitung [mm]f'(x)=b^x[/mm] bestimmt.
>
> Die Ableitung einer Exponentialfunktion muss also wie folgt
> lauten:
>
> [mm]f'(x)=f'(0)*b^x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] aus diesen Erkenntnissen muss dann für die
> Ableitung einer E-Funktion folgendes gelten:
>
> [mm]f´(x)=\lim_{h\rightarrow\infty} \frac{f(e^{x+h})-f(e^{x})}{x-(x+h)}\Leftrightarrow\frac{e^{x}*e^{h}-e^{x}}{h}\Leftrightarrow e^{x}\frac{e^{h}-1}{h}[/mm]
>
> da sich das [mm]\lim_{h\rightarrow\infty}[/mm] auf h und nicht auf x
> bezieht,kann das Limes vor den Quotienten [mm]\frac{e^{h-1}}{h}[/mm]
> ziehen.
>
> [mm]\Rightarrow e^{x}(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{h}-1}{h}).[/mm]
>
> Herleitung der Eulerschen Zahl:
>
> Eine Funktion mit der Basis e (ungefähr
> 2,718...)entspricht so ziemlich genau mit dem
> Funktionsverlauf der eigenen Ableitung .
>
> [mm]\Rightarrow f_{e}(x)=f_{e}'(x)\Leftrightarrow f_{e}'(x)\Rightarrowf'(0)*b^x=e^x[/mm]
>
> da f'(0)=1 [mm]bzw\Rightarrow (\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{e^{h}-1}{h})=1[/mm]
> gelten muss,kann die Zahl e=7,2182....durch geschicktes
> umstellen ermittelt werden.
>
> somit folgt [mm]aus:e^{h-1}=1[/mm] mit h=1/n die Gleichung
> e^17n-1/1/n =1.
>
> die Gleichung umgestellt nach e lautet:
>
> [mm]e=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.[/mm]
>
> Ich bitte um Verbesserung und eventuelle Tipps, wie ich es
> hätte besser machen können.
>
> NEPOMUK
Hallo,
auf alle Fälle geht h gegen Null und nicht gegen Unendlich.
Gruß Abakus
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Fr 24.09.2010 | | Autor: | nepomuk |
na,wenn das ihr einzige beanstattung ist,hätte ich für die herleitung in ihrem unterricht wohl ein gute note abkassiert:)
sonst keine Anregung?Verbesserung oder sonstiges?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du hast ein paar kleinere Schlampereien drinnen (z.B. [mm] $f(b^x)$, [/mm] f *ist* [mm] $b^x$, [/mm] außerdem ist bei Dir im Nenner $x-(x+h)$ anstatt $(x+h)-x$, aber das gibt sich später durch einen weiteren Vorzeichenfehler =P ).
Das Hauptproblem ist, daß Du zwar sehr ausführlich an der Problemstellung rumrechnest, aber den zentralen Punkt mit sehr viel hand-waving behandelst. =)
Du suchst $e:=exp(0)$, so daß [mm] $\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$
[/mm]
Nur kannst Du jetzt hier nicht so einfach den Limes unter den Tisch fallen lassen, nach e auflösen und dann den Limes wieder hervorzaubern. Vielleicht gibt es einen Weg das direkt zu machen, aber ich wüßte ihn nicht.
Du kannst Dich aber davon leiten lassen und die Funktion [mm] $\exp(x)$ [/mm] so definieren:
[mm] $\exp(x):=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}n\right)^n$ [/mm]
Jetzt müßte man als erstes zeigen, daß die Folge für alle x konvergiert, und daß sie 2. die Funktionalgleichung
[mm] $\exp(a+b)=\exp(a)+\exp(b)$
[/mm]
erfüllt. Deine Rechnung zeigt dann, daß aus der Funktionalgleichung die gewünschte Ableitung folgt, sofern die Ableitung bei 0 eben 1 ist
Einen Beweis dafür könnte man dann z.B. über die Ungleichung [mm] $\exp(x)\geq [/mm] 1+x$ (über die Bernoulli-Ungleichung) führen. Daraus folgt mit ein bißchen Rechnen nämlich auch [mm] $\exp(x)\leq \frac1{1-x}$
[/mm]
Und damit die Ungleichungskette:
[mm] $1=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}h \leq \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}h \leq$
[/mm]
[mm] $\leq\lim_{h\to 0}\frac{\frac1{1-h} -1}h\leq \lim_{h\to 0} \frac1{1-h}=1$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
|
