Hausdorffraum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Fr 13.03.2009 | | Autor: | JakobL |
Hallo,
habe hier grade eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme und die ich auch nirgendwo sonst finden kann.
Gegeben sind ein topologischer Hausdorffraum und n [mm] \ge [/mm] 2 paarweise verschiedene Punkte. Die Behauptung ist nun, dass sich diese durch n offene Teilmengen, die jeweils paarweise disjunkten Schnitt haben, trennen lassen. Das ganze soll per Induktion gemacht werden, wobei für n=1 und n=2 das ganze ja klar ist. Ich komme halt einfach beim Schritt nicht weiter, also eigentlich gar nicht :). Jemand eine Idee, wie es gehen könnte?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Du hast $n+1$ Punkte [mm] $x_1,...,x_{n+1}$. [/mm] Nach IV gibt es für $i=1,...,n$ paarweise disjunkte offene Umgebungen [mm] $U_i$ [/mm] von [mm] $x_i$. [/mm] Außerdem gibt es nach IV (n=2) zu jedem $i=1,...,n$ offene Umgebungen [mm] $U_{n+1}^i$ [/mm] von [mm] $x_{n+1}$ [/mm] und [mm] $\tilde{U}_i$ [/mm] von [mm] x_i [/mm] mit [mm] $\tilde{U}_i\cap U_{n+1}^i=\emptyset$. [/mm] Dann sind die [mm] $U_1\cap \tilde{U}_1,...,U_n\cap\tilde{U}_n, \bigcup_{i=1}^n U_{n+1}^i$ [/mm] offene, paarweise disjunkte Umgebungen von [mm] $x_1,...,x_{n+1}$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Fr 13.03.2009 | | Autor: | JakobL |
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Aber die letzte Vereinigung sollte ein Schnitt sein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Richtig! 
|
|
|
|
