Hausdorff in dim<\infty < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe vor kurzen einen Beweis gelesen, in dem aus der endlichen Dimension eines Vektorraumes die Hausdorff-Eigenschaft gefolgert wurde.
Ist das immer so, oder nur in speziellen Fällen?
Der betrachtete Fall war ein lokalkonvexer VR.
Viele Grüße
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Fr 01.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christoph!
> ich habe vor kurzen einen Beweis gelesen, in dem aus der
> endlichen Dimension eines Vektorraumes die
> Hausdorff-Eigenschaft gefolgert wurde.
Nun, ob ein topologischer Raum hausdorffsch ist oder nicht, haengt von seiner Topologie ab. Mehr kann man nicht sagen, solange man keine genauere Informationen ueber die Topologie hat.
Wenn die Topologie durch eine Norm (oder allgemeiner, durch eine Metrik) gegeben hat, ist die Topologie immer hausdorffsch.
> Ist das immer so, oder nur in speziellen Fällen?
> Der betrachtete Fall war ein lokalkonvexer VR.
Das haengt davon ab, wie man "lokalkonvexer VR" genau definiert 
Genauer: die lokalkonvexe Topologie ist genau dann hausdorffsch, wenn das System der Halbnormen "trennend" ist, also es zu je zwei verschiedenen Punkten $x, y$ des Raums eine Halbnorm [mm] $\rho$ [/mm] gibt mit [mm] $\rho(x) \neq \rho(y)$.
[/mm]
Oder aequivalent formuliert: wenn [mm] $\{ x \in X \mid \rho(x) = 0 \text{ fuer alle Halbnormen } \rho \text{ aus dem System } \} [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist.
(In der Funktionalanalysis-Vorlesung, die ich gehoert hab, gehoerte eins davon mit zur Definition. Laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia scheinen das allerdings nicht alle mit zur Definition zu nehmen.)
LG Felix
|
|
|
|
