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Hallo zusammen. Ich hänge über einer Aufgabe. Es geht um folgendes:
Wir sollen den Hauptraum einer Matrix A bestimmen.
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 3 & 3 & 1 & 8 \\
0 & 2 & 7 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 2 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 0 & -1 &-4 \\
0 & 0 & 0 & 0 &-1
\end{pmatrix}
[/mm]
Zunächst habe ich das Charakteristische Polynom bestimmt.
[mm] \lambda_a=(\lambda+1)^2(\lambda-2)^3 [/mm]
Das war soweit kein Problem. Nun sagt ja die Definition der Haupträume aus, dass [mm] H(A,\lambda)=ker(A-\lambda *E)^k [/mm] , wobei k die Algebraische Vielfachheit der EW ist. Was in meinem Beispiel 2 & 3 wäre.
Für den Ersten EW [mm] \lambda_1 [/mm] = -1 ergibt sich folgende Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
9 & 18 & 39 & 24 & 56 \\
0 & 9 & 42 & 41 & 44 \\
0 & 0 & 9 & 15 & -8 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Der Kern dieser Matrix ist in Abhängigkeit von zwei Parametern [mm] x_4 [/mm] = t und [mm] x_5 [/mm] = s weiter ergibt sich dafür
[mm] x_1 = \bruch{-17}{9}t+\bruch{128}{27}s\\ [/mm]
[mm] x_2 = \bruch{29}{9}t-\bruch{244}{27}s\\ [/mm]
[mm] x_3=\bruch{-15}{9}t+\bruch{8}{9}s [/mm]
So nun stellt sich mir die Frage ob das zum einem richtig ist und wie ich diese Lösung aufschreiben soll. Im Internet habe ich zum einem diese Schreibweise gefunden:
[mm] H(A,\lambda)=t*\begin{pmatrix} -\bruch{17}{9} \\ \bruch{29}{9} \\ -\bruch{15}{9} \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} \bruch{128}{27} \\ -\bruch{244}{27} \\ \bruch{8}{9} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Oder so:
[mm] [mm] H(A,\lambda)= <\begin{pmatrix} -17 \\ 29 \\ -15 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 128 \\ -244 \\ 24 \\ 0 \\ 27 \end{pmatrix}>
[/mm]
Über Hilfe wäre ich echt Dankbar! Schönes Wochenende!
Grüße
rnaish =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 20.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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