Hauptkrümmung einer Fläche < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei S [mm] \subseteq \IR^3 [/mm] eine Fläche und sei [mm] \lambda [/mm] > 0.
Sei ferner [mm] S^{\lambda} [/mm] := [mm] \{\lambda \cdot p | p \in S\} \subseteq \IR^3 [/mm] eine Fläche mit Koordinatensystem [mm] \alpha^{\lambda} [/mm] : U [mm] \to S^{\lambda} [/mm] , [mm] \alpha^{\lambda}(u,v) [/mm] := [mm] \lambda \cdot \alpha(u,v) [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] Koo-System von S.
c) Vergleichen Sie die Hauptkrümmungen, die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung von S in [mm] p\in [/mm] S und von [mm] S^{\lambda} [/mm] in [mm] \lambda \cdot [/mm] p [mm] \in S^{\lambda}. [/mm] |
Hallo zusammen,
die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung hab ich schon, aber bei den Haptkrümmungen habe ich noch eine Frage:
Ich habe in meiner Vorlesung folgende Zeilen gefunden:
[mm] dN_p(\alpha_u) [/mm] = [mm] a\alpha_u [/mm] + [mm] c\alpha_v
[/mm]
[mm] dN_p(\alpha_v) [/mm] = [mm] b\alpha_u [/mm] + [mm] d\alpha_v
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Matrixdarstellung von [mm] dN_p [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Daraus schließe ich:
[mm] dN_{\lambda p}^{\lambda}(\alpha^{\lambda}_u) [/mm] = [mm] dN_p(\lambda \alpha_u) [/mm] = [mm] \lambda a\alpha_u [/mm] + [mm] \lambda c\alpha_v
[/mm]
[mm] dN_{\lambda p}^{\lambda}(\alpha^{\lambda}_v) [/mm] = [mm] dN_p(\lambda \alpha_v) [/mm] = [mm] \lambda b\alpha_u [/mm] + [mm] \lambda d\alpha_v
[/mm]
[mm] [dN_{\lambda p}^{\lambda} [/mm] = [mm] dN_p [/mm] und [mm] \alpha^{\lambda}_u [/mm] = [mm] \lambda \alpha_u [/mm] habe ich bereits gezeigt]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Matrixdarstellung von [mm] dN_p [/mm] ist [mm] \lambda \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Ich habe aber auch folgende Lösung (ohne Gewähr) gesehen:
[mm] dN_{\lambda p}^{\lambda}(\lambda \alpha_u) [/mm] = [mm] dN_{\lambda p}^{\lambda}(\alpha^{\lambda}_u) [/mm] = [mm] \bruch{d}{du}(N^{\lambda}_{\alpha^{\lambda}(u,v)}) [/mm] = [mm] \bruch{d}{du}(N_{\alpha (u,v)}) [/mm] = [mm] dN_p \cdot (\alpha_u)
[/mm]
[mm] \alpha_u [/mm] , [mm] \alpha_v [/mm] Basis von TpS [mm] \Rightarrow dN_{\lambda p}^{\lambda} [/mm] = [mm] dN_p \Rightarrow dN_{\lambda p}^{\lambda} [/mm] = [mm] 1/\lambda dN_p \Rightarrow [/mm] Hauptkrümmung von [mm] S^{\lambda} [/mm] = [mm] 1/\lambda \cdot [/mm] Hauptkrümmung von S
Was ist denn jetzt richtig?
LG fagottator
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 18.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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