Hauptidealring K[X,Y] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K Körper. Zeigen Sie:
K[X,Y] ist kein Hauptidealring |
Hallo Leute,
ich weiß, das ist mehr oder weniger eine Standartaufgabe, aber ich kann sie dennoch nicht lösen :-(
Wikipedia meint, das könne kein HIR sein, weil (X,Y) kein Hauptideal ist - aber wie zeige ich das?
sry, aber das verstehe ich hier wirklich nciht. Ich hoffe, ihr könnt mir da weiter helfen
liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Sabine!
> Sei K Körper. Zeigen Sie:
> K[X,Y] ist kein Hauptidealring
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> Hallo Leute,
> ich weiß, das ist mehr oder weniger eine Standartaufgabe,
> aber ich kann sie dennoch nicht lösen :-(
> Wikipedia meint, das könne kein HIR sein, weil (X,Y) kein
> Hauptideal ist - aber wie zeige ich das?
> sry, aber das verstehe ich hier wirklich nciht. Ich hoffe,
> ihr könnt mir da weiter helfen
Nimm an, es gibt ein Polynom $f [mm] \in [/mm] K[X,Y]$ mit $(X, Y) = (f)$.
Dann kannst du aus $X, Y [mm] \in [/mm] (f)$ zeigen, dass $f$ eine Konstante sein muss. Damit ist $(f) = 0$ oder $(f) = K[X, Y]$. Jetzt zeige, dass $(X, Y)$ nicht gleich $K[X, Y]$ enthaelt, weil es etwa 1 nicht enthaelt.
LG Felix
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