Hauptidealring - Nebenklasse < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Wir wissen, dass [mm] \IR[X] [/mm] ein Hauptidealring ist. Das Polynom [mm] X^2 [/mm] +1
ist irreduzibel, da es in keine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] besitzt. Folglich ist wegen dem vorherigem
Lemma der Quotient K = [mm] \IR[X]/(X^2 +1)\IR[X] [/mm] ein Körper. Die Nebenklasse
$z = X + [mm] (X^2 [/mm] + [mm] 1)\IR[X]$
[/mm]
erfüllt
[mm] z^2 [/mm] = -1: |
Hallo Leute,
Dies ist doch gleich bedeutend mit:
$z = X + [mm] (X^2 [/mm] + [mm] 1)\IR[X]= [/mm] X + [mm] mod(X^2+1)$
[/mm]
Sehe ich das richtig?
Und wie kann ich bestimmen, dass [mm] z^2=-1 [/mm] darin erfüllt wird? Und wieso ist das wichtig? Ich nehme an, dass es etwas mit der Isomorphie zu den komplexen Zahln zu tun hat.
Danke mal wieder im vorraus!
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> Wir wissen, dass [mm]\IR[X][/mm] ein Hauptidealring ist. Das Polynom
> [mm]X^2[/mm] +1
> ist irreduzibel, da es in keine Nullstelle in [mm]\IR[/mm] besitzt.
> Folglich ist wegen dem vorherigem
> Lemma der Quotient K = [mm]\IR[X]/(X^2 +1)\IR[X][/mm] ein Körper.
> Die Nebenklasse
> [mm]z = X + (X^2 + 1)\IR[X][/mm]
> erfüllt
> [mm]z^2[/mm] = -1:
> Hallo Leute,
>
> Dies ist doch gleich bedeutend mit:
>
> [mm]z = X + (X^2 + 1)\IR[X]= X + mod(X^2+1)[/mm]
>
> Sehe ich das richtig?
Inhaltlich ja, formal würde man andere Zeichen verwenden:
$z = X + [mm] (X^2 [/mm] + [mm] 1)\IR[X]$ [/mm] oder $z [mm] \equiv [/mm] x [mm] \mod(x^2+1)$
[/mm]
> Und wie kann ich bestimmen, dass [mm]z^2=-1[/mm] darin erfüllt
> wird?
Berechne doch einfach mal:
[mm] $z^2 \equiv x^2 \equiv x^2+1-1\equiv [/mm] -1 [mm] \mod(x^2+1)$
[/mm]
> Und wieso ist das wichtig? Ich nehme an, dass es
> etwas mit der Isomorphie zu den komplexen Zahln zu tun
> hat.
Es ist bei Ringen und Körpern immer von besonderem Interesse, ob die Gleichung [mm] $x^2=-1$ [/mm] eine Lösung besitzt, also ob $i$ in dem entsprechenden Ring oder Körper enthalten ist, denn damit kann man eine ganze Reihe von Dingen über den Ring/Körper aussagen.
In deinem Fall hast du Recht, dies zielt auf die Isomorphie zu [mm] $\IC$ [/mm] ab.
Es ist [mm] $\{1,x\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR[x^2+1]$ [/mm] und [mm] $\{1,i\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IC$ [/mm] (als [mm] $\IR-$Vektorraum).
[/mm]
Bildest du die lineare Abbildung [mm] $\phi$, [/mm] die [mm] $\phi(1)=1$ [/mm] und [mm] $\phi(x)=i$ [/mm] erfüllt so sind die beiden schonmal als Vektorräume isomorph.
Bedenkst du nun weiter, dass [mm] $x^2=-1$ [/mm] so kannst du auch zeigen, dass dies ein Körperisomorphismus ist.
> Danke mal wieder im vorraus!
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Do 16.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ist verständlich, vielen Dank!
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