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Sei R ein Ring mit [mm] I_1, I_2 [/mm] Ideale mit [mm] I_1I_2 [/mm] = [mm] (a_1,...,a_4).
[/mm]
Was ich nun nicht sehe ist:
Ist [mm] b\in I_1I_2, [/mm] so gilt [mm] (b)\subseteq I_1I_2.
[/mm]
Ich weiß [mm] (a)=\{b\in R: a|b\} [/mm] und a|b <=> [mm] (a)\supseteq [/mm] (b), aber wie lässt sich das nun auf [mm] (a_1,...,a_4) [/mm] übertragen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 15.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei R ein Ring mit [mm]I_1, I_2[/mm] Ideale mit [mm]I_1I_2[/mm] =
> [mm](a_1,...,a_4).[/mm]
> Was ich nun nicht sehe ist:
> Ist [mm]b\in I_1I_2,[/mm] so gilt [mm](b)\subseteq I_1I_2.[/mm]
>
> Ich weiß [mm](a)=\{b\in R: a|b\}[/mm] und a|b <=> [mm](a)\supseteq[/mm] (b),
> aber wie lässt sich das nun auf [mm](a_1,...,a_4)[/mm] übertragen?
[mm] $I_{1}I_{2}$ [/mm] ist sicher das von den Produkten von Elementen aus [mm] $I_{1}$ [/mm] und [mm] $I_{2}$ [/mm] erzeugte Ideal. Wenn Du die Definition eines Ideals eines kommutativen Rings beachtest, muesste sich die Behauptung ergeben; mit den Erzeugern hat es uebrigens nichts, oder wenig, zu tun.
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Ich versuchs mal. Wir wollen zeigen dass für [mm] b\in [/mm] I, für I Ideal auf einem kommutativen (<- warum eigentlich?) Ring gilt [mm] (b)\subseteq [/mm] I.
Da I Ideal ist, bildet I eine Untergruppe bzgl + und für [mm] a\in [/mm] I, [mm] r\in [/mm] R gilt [mm] ra\in [/mm] I. Weiter ist (b) = Rb = bR ein Hauptideal.
Ist nun [mm] b\in [/mm] I, so ist mit jedem [mm] r\in [/mm] R auch [mm] rb\in [/mm] I, d.h. Rb=bR=(b) [mm] \subseteq [/mm] I.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 15.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Ich versuchs mal. Wir wollen zeigen dass für [mm]b\in[/mm] I, für
> I Ideal auf einem kommutativen (<- warum eigentlich?)
Die Kommutativitaet ist nicht wesentlich, macht vieles aber einfacher.
> Ring gilt [mm](b)\subseteq[/mm] I.
>
> Da I Ideal ist, bildet I eine Untergruppe bzgl + und für
> [mm]a\in[/mm] I, [mm]r\in[/mm] R gilt [mm]ra\in[/mm] I. Weiter ist (b) = Rb = bR ein
> Hauptideal.
>
> Ist nun [mm]b\in[/mm] I, so ist mit jedem [mm]r\in[/mm] R auch [mm]rb\in[/mm] I, d.h.
> Rb=bR=(b) [mm]\subseteq[/mm] I.
Waere ich mit einverstanden.
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