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Hallo
Hab folgendes Beispiel
Man untersuche folgende Fläche
- [mm] x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+8x_{1}x_{3}-4x_{2}x_{3}=
[/mm]
[mm] x^{tr} \pmat{ -1 & 2&4 \\ 2 & 2&-2\\4&-2&-1 }x=1 [/mm] meine erste Frage ist die 1 gegeben oder rechnet man den aus?
Jetzt rechnet man die Eigenwerte aus für
[mm] \vmat{ -1- \lambda & 2 &4\\ 2 & 2- \lambda&-2\\4&-2&-1- \lambda }=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=-6
[/mm]
wie bekomme ich jetzt die Eigenvektoren wenn ich das wie sonst üblich ansetzte kommen diese Gleichungssysteme raus
für [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=3
[/mm]
-4 [mm] x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=0
[/mm]
2 [mm] x_{1}-1 x_{2}-2 x_{3}=0
[/mm]
4 [mm] x_{1}-2 x_{2}-4 x_{3}=0
[/mm]
da hebt sich die erste mit der dritten Gleichung auf
bei [mm] \lambda_{3}=-6
[/mm]
-7 [mm] x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=0
[/mm]
2 [mm] x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=0
[/mm]
4 [mm] x_{1}-2 x_{2}-7 x_{3}=0
[/mm]
verstehe den Schritt zu
[mm] e^{/}_{1}= \bruch{1}{3} \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
[mm] e^{/}_{2}= \bruch{1}{3} \vektor{2 \\ 2\\1}
[/mm]
[mm] e^{/}_{3}= \bruch{1}{3} \vektor{-2 \\ 1\\2}
[/mm]
nicht bzw ich hab keine Ahnung wie man darauf kommt?
Danke Stevo
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Hallo stevarino,
> verstehe den Schritt zu
> [mm]e^{/}_{1}= \bruch{1}{3} \vektor{1 \\ -2\\2}[/mm]
> [mm]e^{/}_{2}= \bruch{1}{3} \vektor{2 \\ 2\\1}[/mm]
>
> [mm]e^{/}_{3}= \bruch{1}{3} \vektor{-2 \\ 1\\2}[/mm]
> nicht bzw ich
> hab keine Ahnung wie man darauf kommt?
Die Vektoren wurden normiert, d.h. Die Lösungsvektoren [mm]e_{i}[/mm] ihren Betrag geteilt, damit sie den Betrag 1 haben:
[mm]
e_{i} '\; = \;\frac{1}
{{\left| {e_{i} } \right|}}\;e_{i} [/mm]
Gruß
MathePower
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