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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Do 28.01.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Lösung der Gleichung
[mm] x^{2}-y^{2}-4*x*y=1
[/mm]
indem sie die entsprechende quadratische Form diagonalisieren. |
So richtig verstehe ich die Aufgabe nicht, so richtig verstehe ich auch die Sache mit der HAT nicht. Wenn ich mal das Beispiel angucke, das wir in der VL hatten, dann müsste die Gleichung äquivalent sein zu
[mm] (x,y)^{T}*\pmat{ 1 & -2 \\ -2 & -1 }*\vektor{x \\ y}-1=0
[/mm]
Muss ich jetzt einfach die Eigenwerte von [mm] A:=\pmat{ 1 & -2 \\ -2 & -1 } [/mm] bestimmen? Und dann hab ich ja [mm] diag(\lambda_{1},\lambda_{2}). [/mm] Was mach ich dann damit?
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Hallo valoo,
> Skizzieren Sie die Lösung der Gleichung
> [mm]x^{2}-y^{2}-4*x*y=1[/mm]
> indem sie die entsprechende quadratische Form
> diagonalisieren.
> So richtig verstehe ich die Aufgabe nicht, so richtig
> verstehe ich auch die Sache mit der HAT nicht. Wenn ich mal
> das Beispiel angucke, das wir in der VL hatten, dann
> müsste die Gleichung äquivalent sein zu
> [mm](x,y)^{T}*\pmat{ 1 & -2 \\ -2 & -1 }*\vektor{x \\ y}-1=0[/mm]
>
> Muss ich jetzt einfach die Eigenwerte von [mm]A:=\pmat{ 1 & -2 \\ -2 & -1 }[/mm]
> bestimmen? Und dann hab ich ja
> [mm]diag(\lambda_{1},\lambda_{2}).[/mm] Was mach ich dann damit?
Anhand der Eigenwerte [mm]\lambda_{1}, \ \lambda_{2}[/mm] kannst Du
die quadratische Form einer bestimmten Kurve zuordnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Fr 29.01.2010 | | Autor: | valoo |
Als Eigenwerte kriegt man ja [mm] \lambda=\pm \wurzel(5). [/mm] Ist es dann richtig, einfach A durch [mm] diag(\wurzel(5),-\wurzel(5)) [/mm] zu ersetzen? Dann kommt man ja auf die Gleichung [mm] \wurzel(5)*x^{2}-\wurzel(5)*y^{2}=1
[/mm]
<=> [mm] y=\pm \wurzel(x^{2}-\bruch{1}{\wurzel(5)})
[/mm]
Ist das so richtig? Oder muss ich mir noch angucken, wie das bezüglich der alten Basis aussieht? Muss ich noch die Transformationsmatrix bestimmen?
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Hallo valoo,
> Als Eigenwerte kriegt man ja [mm]\lambda=\pm \wurzel(5).[/mm] Ist es
> dann richtig, einfach A durch [mm]diag(\wurzel(5),-\wurzel(5))[/mm]
> zu ersetzen? Dann kommt man ja auf die Gleichung
> [mm]\wurzel(5)*x^{2}-\wurzel(5)*y^{2}=1[/mm]
> <=> [mm]y=\pm \wurzel(x^{2}-\bruch{1}{\wurzel(5)})[/mm]
> Ist das so
> richtig? Oder muss ich mir noch angucken, wie das
> bezüglich der alten Basis aussieht? Muss ich noch die
> Transformationsmatrix bestimmen?
Im u-v-Koordinatensystem sieht die Gleichung so aus:
[mm]\wurzel(5)*u^{2}-\wurzel(5)*v^{2}=1[/mm]
Willst Du diese Gleichung in das x-y-Koorinatensystem einzeichen.
dann mußt Du die zugehörigen Eigenvektoren berechnen.
Denn es gilt hier:
[mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{u \\ v}[/mm]
,wobei T die Matrix ist, die aus den Eigenvektoren besteht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:03 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Unk |
> Im u-v-Koordinatensystem sieht die Gleichung so aus:
>
> [mm]\wurzel(5)*u^{2}-\wurzel(5)*v^{2}=1[/mm]
Das ist ja nun bereits eine Hauptachsenform.
>
> Willst Du diese Gleichung in das x-y-Koorinatensystem
> einzeichen.
> dann mußt Du die zugehörigen Eigenvektoren berechnen.
>
> Denn es gilt hier:
>
> [mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{u \\ v}[/mm]
>
> ,wobei T die Matrix ist, die aus den Eigenvektoren
> besteht.
>
>
> Gruss
> MathePower
Okay, wie bekomme ich dann aber die Hauptachsenform in Basisvektoren? Wenn ich [mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{u \\ v}[/mm] löse, sind x und y ja nun jeweils von 2 variablen abhängig. Bei Wiki ist für die HAT auch so ein Beispiel und am Ende steht dann einfach die Hauptachsenform transformiert in Basisvektoren, ich weiß aber nicht wie man das macht???
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> > Im u-v-Koordinatensystem sieht die Gleichung so aus:
> >
> > [mm]\wurzel(5)*u^{2}-\wurzel(5)*v^{2}=1[/mm]
>
> Das ist ja nun bereits eine Hauptachsenform.
>
> >
> > Willst Du diese Gleichung in das x-y-Koorinatensystem
> > einzeichen.
> > dann mußt Du die zugehörigen Eigenvektoren
> berechnen.
> >
> > Denn es gilt hier:
> >
> > [mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{u \\ v}[/mm]
> >
> > ,wobei T die Matrix ist, die aus den Eigenvektoren
> > besteht.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Okay, wie bekomme ich dann aber die Hauptachsenform in
> Basisvektoren? Wenn ich [mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{u \\ v}[/mm]
> löse, sind x und y ja nun jeweils von 2 variablen
> abhängig. Bei Wiki ist für die HAT auch so ein Beispiel
> und am Ende steht dann einfach die Hauptachsenform
> transformiert in Basisvektoren, ich weiß aber nicht wie
> man das macht???
>
Hallo Unk,
In dem Wiki- Artikel wurden im letzten Schritt ganz einfach die Koeffizienten von $x',y'$ und $z'$ als Kehrbruch unter einen Bruchstrich gezogen und dort quadriert und unter eine Wurzel gezogen. Z.B. [mm] $2=\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}$
[/mm]
Mittels einer verschiebung des Koordinatensystems wurde noch der lineare Term
[mm] $2\sqrt{3}x'$ [/mm] eliminiert, und dementsprechend die Variablen umbenannt.
Gruß Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 18.02.2010 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> In dem Wiki- Artikel wurden im letzten Schritt ganz einfach
> die Koeffizienten von [mm]x',y'[/mm] und [mm]z'[/mm] als Kehrbruch unter
> einen Bruchstrich gezogen und dort quadriert und unter eine
> Wurzel gezogen. Z.B.
> [mm]2=\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}[/mm]
> Mittels einer verschiebung des Koordinatensystems wurde
> noch der lineare Term
> [mm]2\sqrt{3}x'[/mm] eliminiert, und dementsprechend die Variablen
> umbenannt.
>
> Gruß Andreas
>
In Ordnung. Warum ist es denn nötig das mit dem Doppelbruch aufzuschreiben? Muss man doch garnicht...
Wie würde es nun in der eigentlichen Aufgabe weitergehen?
Angekommen waren wir bei [mm] \sqrt{5}x'^2-\sqrt{5}y'^2=0. [/mm]
Im Prinzip ist das doch die "Lösung" der impliziten Gleichung. Ich könnte jetzt noch normierte Eigenvektoren bestimmen und die Orthogonalmatrix aufschreiben und hätte damit dann die Hauptachsen.
Muss man noch etwas mehr machen? Ich finde die Aufgabenstellung schlecht formuliert, mit "Skizzieren Sie eine Lösung der Gleichung" und das Ergebnis ist dann eine neue Gleichung...
Gruß Unk
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Hallo Unk,
Die Aufgabe behandelt ja eine Kurve zweiter Ordnung.
Die Aktion mit den Doppelbrüchen und den quadrierten Wurzeln kommt wohl daher, dass Kurven zweiter Ordnung zumeist die Form [mm] $\frac{1}{a^2}x^2\pm\frac{1}{b^2}y^2=1$ [/mm]
haben. Diese Formen (und auch noch einige andere) können durch Hauptachsentransformation hergestellt werden. $a$ und $b$ sind dabei geometrische Gößen.
Solche Kurven können die Form einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel annehmen.
Jede der genannten Formen kann in degenerierter Form vorliegen. Dann werden solche Kurven zu Geraden (2 Stück, parallel oder schneidend, oder eine Gerade) oder zu einem einzelnen Punkt.
Welche Sorte von Kurve Du vor Dir hast, kannst Du viel leichter entscheiden, wenn Du eine Hauptachsentransformation durchgeführt hast. Es gibt Kriterien, die Dir sagen, was für eine Kurve vorliegt. Die Aufgabe verlangt eine Skizze, weil sie prüft, ob Du eine korrekte Klassifikation vorgenommen hast. Eine Klassifikation ist auch ohne Hauptachsentransformation möglich. Aber im Ursprüngichen Koordinatensystem weißt Du nicht auf Anhieb, wie die Ellipse, Hyperbel oder die Geraden(im degenerierten Fall) liegen.
Wenn Du also nun noch herausfindest, welche Sorte von Kurve vorliegt, so kannst Du sie ganz bequem im transformierten Koordinatensystem einzeichnen, und ich finde, so macht die Aufgabe auch wieder Sinn...
Na ja, also das [mm] $\pm$ [/mm] in der obigen Formel sagt, ob Ellipse oder Hyperbel. Falls das Produkt der Faktoren vor [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $y^2$ [/mm] kleiner ist als Null, dann ist es eine Hyperbel.
Größer Null ist eine Ellipse. Wenn $x$ oder $y$ verschwindet ist es eine Parabel.
Die oben angegebene Form von Kurven zweiter Ordnung deckt nicht alle Sonderfälle ab.
viele grüße, Andreas
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